Определить угол поворота диска.

[kiss_of_life]

Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, с решением задачи!

Однородный материальный диск радиусом R и весом P может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По диску по концентрической окружности радиусом r движется из точки $M_0$ человек, проходящий дугу, соответствующую углу pi/2 . Затем он идет по радиусу до края диска, далее проходит по краю четверть в обратном направлении, и, наконец, по радиусу, возвращается в исходное положение. Определить угол поворота диска, если вес человека равен весу диска. Трением в подшипниках пренебречь.



Решать с помощью теоремы о моменте количества движения, но как... по болезни пропустила, теперь не понимаю.

[svv]

kiss_of_life писал(а):

Решать с помощью теоремы о моменте количества движения, но как... по болезни пропустила, теперь не понимаю.

Хорошо, но минимальное требование к Вам:
1) Вы должны знать, как момент количества движения вычисляется, хотя бы для этого простого случая; это есть в учебнике, в Вики, много где в Сети.
2) Вы должны знать, что для замкнутой системы он сохраняется.

[kiss_of_life]

Что-то нарешала, проверьте, пожалуйста!

Для $M_2$$M_3$:
$L=Iw$
$L=L_1 + L_2 =0$
$I_2=1/2MR^2$(правильный ли коэффициент 1/2?) момент инерции диска
$I_1=mR^2$ момент инерции человека
$mR^2w_1=-1/2MR^2w_2$
$a_1=tw_1=\pi/4 $(угол, который прошел человек)
$a_2=tw_2 $(угол поворота диска)

Для $M_0$$M_1$ то же самое, только R меняем на r? А для движения по радиусу ничего не меняется?

Спасибо за помощь!

[svv]

Итак, сначала диск неподвижен и человек неподвижен, поэтому суммарный момент импульса (он же момент к-ва движения) равен нулю. Теперь, как бы человек ни отплясывал на диске, всегда будет $L=L_1+L_2=0$ (пока не вмешаются внешние силы). Отсюда следует, что когда человек остановится, диск тоже остановится. Другое следствие: если человек идет, но так, что $\omega_1=0$, диск тоже не будет вращаться. Человек идет по часовой стрелке -- диск вращается против. И т.д.

То, что Вы написали для $M_2 M_3$, почти правильно. Замечания:
$L=L_1+L_2=I_1\omega_1 + I_2\omega_2=0$, так лучше написать.
Из $mR^2\omega_1=-1/2MR^2\omega_2$ следует аналогичная формула для углов:
$mR^2 a_1=-1/2MR^2 a_2$
Но тут есть тонкость. Дело в том, что это те углы, которые будут наблюдаться неподвижным наблюдателем (кто-то смотрит сверху). А по условию задачи человек прошел четверть окружности (это $\pi/2$, не $\pi/4$) относительно диска, который сам при этом вращался. Ну, по крайней мере я так понял условие.

Сможете догадаться, что тогда равно $\pi/2$?

kiss_of_life писал(а):

Для $M_0$$M_1$ то же самое, только R меняем на r?

Ну, не везде! Момент инерции диска, например, не изменится.

[kiss_of_life]

дада, $\pi/2$, я опечаталсь.

оу... что-то я запуталась... т.е. $a_1$ и $a_2 $ это углы, которые видит наблюдатель? Но тогда я не могу догадаться, что равно $\pi/2$. Или м.б. это угол, на который повернулся диск плюс угол, пройденный человеком?

[svv]

Да, $a_1$ и $a_2$ -- это те углы, на которые повернулись вокруг оси человек и диск для неподвижного наблюдателя. Почему? А потому, что в формулу для момента импульса входит угловая скорость вращения человека или диска относительно неподвижного наблюдателя (вернее, относительно инерциальной лабораторной системы, которую условно считаем неподвижной).

kiss_of_life писал(а):

Или м.б. это угол, на который повернулся диск плюс угол, пройденный человеком?

Близко к истине. Чтобы уточнить, возьмём пример с конкретными числами. Вот как это может выглядеть.

Желтый кружочек -- это человек. А красная и синяя линия нарисованы на диске и вращаются вместе с ним. Сначала человек стоит на красной линии, а хочет попасть на синюю. Хотя на диске угол между ними $90°$, но с точки зрения неподвижного наблюдателя человек поворачивается вокруг оси (черный кружок) на меньший угол. На картинке выбраны такие углы: человек поворачивается на $a_1=60°$, а диск на $a_2=-30°$ (положительный угол поворота -- это против часовой стрелки, а отрицательный -- по).
В таком случае угол, на который человек повернется относительно диска, будет $a_1-a_2$. Этот угол и надо положить равным $\pi/2=90°$.

(Подробности)

Вывод этой формулы может быть таким:
человек относительно лаборатории $=$ человек относительно диска $+$ диск относительно лаборатории

отсюда
$\pi/2=$ человек относительно диска $=$ человек относительно лаборатории $-$ диск относительно лаборатории $=a_1-a_2$

Если, наоборот, человек идет по часовой стрелке, а диск вращается против, то $a_1-a_2=-\pi/2$. Тогда правую картинку надо считать начальным положением, а левую конечным. Проверяем: $a_1=-60°, a_2=+30°, a_1-a_2=-90°=-\pi/2$. Всё правильно.

[kiss_of_life]

Все очень подробно и понятно! Спасибо Вам большое за помощь!

[Oleg Zubelevich]

Теперь предположим, что человек начал движение из точки $O$, и относительно платформы прошел по окружности радиуса $R/2$, вернулся в исходную точку и там остановился. Вопрос тот же.
Зависит ли ответ от закона движения человека по окружности?