Определенный интеграл.

[fsh2013]

Должен вычислить определенный интеграл следующей функции

$\sin^2 x/(1+\sin^2 x)^2$

Пределы интегрирования: от 0 до 2Пи.

С помощью онлайн-калькулятора получил такое решение (без учета добавляемой константы):

$0.5(\tg^{-1}(\sqrt{2}\tg x))/(4\sqrt{2})+0.5(\sin2x)/(4\cos2x-3)$

Но при вставке пределов, первое слагаемое обращается в бесконечность а второе слагаемое в ноль.
Видимо упустил чтото , не подскажете.

[ИСН]

Что этот Ваш онлайн-калькулятор скажет про неопределённый интеграл от $1\over x^2+1$?

[ewert]

fsh2013 в сообщении #726099 писал(а):

С помощью онлайн-калькулятора получил такое решение (без учета добавляемой константы):

$0.5(\tg^{-1}(\sqrt{2}\tg x))/(4\sqrt{2})+0.5(\sin2x)/(4\cos2x-3)$

Ответ неправильный, но дело не только в этом. Дело в том, что такое выражение (если, конечно, его исправить) получается заменой $\tg x=t$, а она корректна только для интервала $(-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2)$, и это надо учитывать. Кроме того, Вы явно под $\tg^{-1}$ понимаете $\frac1{\tg}$, хотя на самом деле это $\arctg$.

[ИСН]

ewert в сообщении #726117 писал(а):

Кроме того, Вы явно под $\tg^{-1}$ понимаете $\frac1{\tg}$, хотя на самом деле это $\arctg$.

Я к этому и вёл. Пытался сделать как-то поделикатнее, чтобы не было "Иванов, ну а ты-то куда прёшь?"

[provincialka]

(Оффтоп)

Ох уж эта деликатность! Иногда очень подводит. Помню, мне как-то делала укол в вену ну о-очень деликатная медсестра. Все переживала, как мне больно. В результате "организовала" синяк во всю руку! А простая, неделикатная - вколола без эмоций, и все получилось хорошо!

[fsh2013]

С арктангенсом тоже ноль получается.
В одной англ. статье этот интеграл решили как я понял - разложением в ряд Тейлора в промежуточной точке отрезка [0, 2Пи] которая была выбрана так, чтобы обеспечить точность до четвертой степени. Можно ли таким путем решить?

[_Ivana]

(Оффтоп)

Если стоит задача сделать пациенту укол и отправить его на все четыре стороны - то эффективнее действия второй медсестры. А если научить самому делать себе уколы - то подобная деликатность вполне уместна

[ewert]

fsh2013 в сообщении #726133 писал(а):

С арктангенсом тоже ноль выходит.

ewert в сообщении #726117 писал(а):

получается заменой $\tg x=t$, а она корректна только для интервала $(-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2)$, и это надо учитывать.

----------------------------------

fsh2013 в сообщении #726133 писал(а):

чтобы обеспечить точность до четвертой степени. Можно ли таким путем решить?

Красиво жить не запретишь. $2\times2$ при желании тоже можно посчитать с точностью до четвёртого знака.

[a_nn]

ewert в сообщении #726117 писал(а):

Дело в том, что такое выражение (если, конечно, его исправить) получается заменой $\tg x=t$, а она корректна только для интервала $(-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2)$,.

ну не совсем только...

[ewert]

(Оффтоп)

_Ivana в сообщении #726134 писал(а):

А если научить самому делать себе уколы - то подобная деликатность вполне уместна

Но в бригаду тогда надо непременно включать хирурга.

[provincialka]

(Оффтоп)

В вену? Нет уж. Внутримышечные - пожалуйста. Укол нужен, чтобы лекарство оказалось в вене, больше ни для чего. И совсем это не больно - палец колоть куда больнее.
Собственно, разговор шел не об уколах, а о деликатности. ИСН часто так туманно подсказывает, что от его подсказок и у специалиста голова идет кругом

[Ktina]

provincialka в сообщении #726132 писал(а):

(Оффтоп)

Ох уж эта деликатность! Иногда очень подводит. Помню, мне как-то делала укол в вену ну о-очень деликатная медсестра. Все переживала, как мне больно. В результате "организовала" синяк во всю руку! А простая, неделикатная - вколола без эмоций, и все получилось хорошо!

(Оффтоп)

The road to hell is paved with good intentions

[ИСН]

(Оффтоп)

да, я такой

[Евгений Машеров]

fsh2013 в сообщении #726133 писал(а):

С арктангенсом тоже ноль получается.
В одной англ. статье этот интеграл решили как я понял - разложением в ряд Тейлора в промежуточной точке отрезка [0, 2Пи] которая была выбрана так, чтобы обеспечить точность до четвертой степени. Можно ли таким путем решить?

Э, а если взять ряд Тейлора в промежуточной точке $\pi$, не получится красивый ряд Тейлора из нулей? Ну, то есть первые два точно нули, далее не нули, но тоже подозрительно.

Вообще же - надо увидеть эту функцию, и её симметрию, а потом использовать простенькую замену.

[fsh2013]

Евгений Машеров в сообщении #726154 писал(а):

Вообще же - надо увидеть эту функцию, и её симметрию, а потом использовать простенькую замену.

Очень похожа на: $0.5|\sin x|$