Расставить пределы в тройном интеграле

[Trurlol]

Здравствуйте. Необходимо найти объем тела ограниченного поверхностями $z = 4 - y^2, y = \frac{x^2}{2}, z = 0$. У меня возникают сложности с расстановкой пределов. На лентах мы всегда делали чертежи и рассматривая их расставляли пределы, это может и правильно, но можно запутаться. Я заметил, что многие расставляют пределы не прибегая к чертежам, возникает ряд вопросов. Как можно быть уверенным что $0 \leqslant z \leqslant 4 - y^2$, а не скажем наоборот $4 - y^2 \leqslant z \leqslant 0$? С иксом у меня получается $-2 \leqslant x \leqslant 2$, что сомнительно, а вот с игриком не понятно $? \leqslant y \leqslant \frac{x^2}{2}$ и опять таки почему не наоборот. Как правильно рассуждать при расстановке пределов? Спасибо.

[Shtorm]

Trurlol в сообщении #725865 писал(а):

Как правильно рассуждать при расстановке пределов?

Нужно проецировать поверхности на плоскость. На плоскости должны получиться замкнутые плоские фигуры, ограниченные условно слева, справа, сверху, снизу. Соответственно и пределы расставляются. Для определения слева, справа, сверху, снизу замкнутую плоскую фигуру пронзают прямой, параллельной оси координат и смотрят, где она входит, а где выходит.

Trurlol в сообщении #725865 писал(а):

$? \leqslant y \leqslant \frac{x^2}{2}$.

$\frac{x^2}{2} \leqslant y \leqslant 2$

[Trurlol]

Да это мне известно, просто вот к примеру без какого либо чертежа расставили пределы http://www.pm298.ru/reshenie/gfh1.php
Кстати, а объем чего находить. Дело в том что у нас получается пересечение параболы по $z$ с ветками вниз из точки 4 и парабола по $y$, ну и плоскость $z = 0$. Так вот, необходимо пересечение этих двух парабол отрезанной плоскостью $z = 0$ или парабола по $y$ вырезает дырку в параболе z?

[Shtorm]

Trurlol, зато, по приведённой Вами ссылке, всё расписали словами - что за область получается на плоскости и какими кривыми она ограничена. А это - равносильно чертежу.

[provincialka]

Trurlol в сообщении #725876 писал(а):

Кстати, а объем чего находить. Дело в том что у нас получается пересечение параболы по $z$ с ветками вниз из точки 4 и парабола по $y$, ну и плоскость $z = 0$. Так вот, необходимо пересечение этих двух парабол отрезанной плоскостью $z = 0$ или парабола по $y$ вырезает дырку в параболе z?

Ну, не параболы, а параболические цилиндры, бесконечные поверхности. Вместе они разбивают пространство на 4 бесконечные части. Плоскость $z=0$ пересекает две из этих частей (те, что "ниже" параболоида $z=4-y^2$). Но только от одной из них она отрезает конечный кусок. Той, которая находится "внутри" параболоида $y=x^2/2$.

Все это я поняла по рисунку (мысленному). Можно, наверное, обойтись и формальными рассуждениями, но это трудно и требует привычки.
Кстати, пример по вашей ссылке гораздо проще.

[Shtorm]

Trurlol, только сейчас увидел, что Вы дописали своё сообщение. Хотя provincialka Вам всё уже объяснила, я напишу другими словами, возможно более Вам понятными.
Параболический цилиндр $z=4-y^2$ ограничивает искомый объём сверху и сбоку. Параболический цилиндр $y = \frac{x^2}{2}$ ограничивает объём с другого боку ( и вообще со всех боков, кроме того бока, который уже ограничен $z=4-y^2$). А плоскость $z=0$ ограничивает искомый объём снизу. Всё, фигура замкнулась. Так понятнее?

-- Вс май 19, 2013 21:41:32 --

provincialka в сообщении #725907 писал(а):

... (те, что "ниже" параболоида $z=4-y^2$). Но только от одной из них она отрезает конечный кусок. Той, которая находится "внутри" параболоида $y=x^2/2$...

Слово "параболоида" везде следует заменить на "параболического цилиндра". Все математики понимают, что это просто описка, но ТС может запутаться.

[Trurlol]

Прошу прощение за качество, нет возможности сейчас сделать адекватный чертеж. Если я сделал все правильно, то по жизни это кусок параболоида который заштрихован. И еще есть сомнения по поводу пределов по $x$, действительно ли они будут $-2 \leqslant x \leqslant 2$

[Shtorm]

Trurlol, просто нужно было рисовать не параболы, а параболические цилиндры. Если кто-то не представляет, как поверхность выглядит в трёхмерном пространстве - то он и не сможет сделать правильную проекцию на плоскость.
Вы знаете как выглядит параболический цилиндр? И Вы осознаёте, что у Вас даны два уравнения именно параболических цилиндра?

-- Вс май 19, 2013 22:15:46 --

Trurlol в сообщении #725930 писал(а):

действительно ли они будут $-2 \leqslant x \leqslant 2$

Да. И Вы бы в этом не сомневались, если бы сделали правильные проекции параболических цилиндров.

[Trurlol]

Спасибо, ошибку понял.

[Shtorm]

Trurlol в сообщении #725865 писал(а):

объем тела ограниченного поверхностями $z = 4 - y^2, y = \frac{x^2}{2}, z = 0$.

Чтоб ещё более понятней было, продемонстрирую ещё с аналитической точки зрения:
$z = 0$ подставляем в $z = 4 - y^2$ и получаем $y^2=4$ откуда $y=\pm 2$. Но прямая $y=-2$ нам не нужна, ибо она не имеет общих точек с параболой $y = \frac{x^2}{2}$ поэтому берём $y=2$ и подставляем в $y = \frac{x^2}{2}$ получаем $x^2=4$ откуда $x=\pm 2$

[provincialka]

(Оффтоп)

картинка, достойная Эшера... Эти кривые не пересекаются!

[Trurlol]

Спасибо большое за указания на ошибки, интеграл решил. Если ваc не затруднит просмотрите пожалуйста решение.

$\iiint_{G} f(x, y, z) dx dy dz = \iint_{G_{xy}} dx dy \int_{0}^{4-y^2} dz = $ $ \iint_{G_{xy}} (4-y^2) dx dy = \int_{-2}^{2} dx \int_{\frac{x^2}{2}}^{2} (4-y^2) dy =$$\int_{-2}^{2} (4y - \frac{y^3}{3})\bigg|_\frac{x^2}{2}^2 dx=$$ \int_{-2}^{2} [(8 - \frac{8}{3}) - (2x^2 - \frac{x^6}{24})] dx = $$\int_{-2}^{2} [\frac{16}{3} - 2x^2 + \frac{x^6}{24}] dx =$$(\frac{16}{3}x - {\frac{2x^3}{3} + \frac{x^7}{168}) \bigg|_{-2}^2 = \frac{32}{3} - \frac{8}{3} + \frac{128}{168} = (*)$ подставляя нижний предел получим аналогичные цифры, поэтому просто умножим на два конечный результат. $(*) = \frac{552}{63}2 = \frac{1104}{63} = 17.52$. Многовато получается.

[provincialka]

Проверьте подстановку: там ошибки.

[Trurlol]

Ой, большое спасибо :) В последней подстановке ошибка была, тогда получается $\frac{128}{21}$ и умножив на два соответственно $\frac{256}{21}$.

[Nacuott]

Trurlol в сообщении #725930 писал(а):

Прошу прощение за качество, нет возможности сейчас сделать адекватный чертеж. Если я сделал все правильно, то по жизни это кусок параболоида который заштрихован. И еще есть сомнения по поводу пределов по $x$, действительно ли они будут $-2 \leqslant x \leqslant 2$

Такая картинка симпатичней и пределы интегрирования хорошо видны.