Каждому пробелу между простыми числами, соответствует простое число. По формуле

вычисляем количество простых чисел на интервале

в дальнейшем будем говорить, вычисляем количество пробелов.
Например: количество пробелов величиной (2), вычисляется по формуле


1, Количество пробелов величиной (2)(4) вычисляем по формуле

Как выделить пробелы (4)? (2) – (2)(4)

Мной доказано, что на интервале

не может быть пробела больше по величине, чем число
Значит, для получения необходимого результата для интервала

пробелы берём до величины

И тогда, по результату докажем обязательное нахождение на интервале

хотя бы одной пары близнецов. А погрешность вычисления только усиливает результат.
Общий вид формул для интервалов

будет такой:

Например:

Разницу (2)-(4)(6)(8) вычисляем по формуле
![$\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^1 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left[ {\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^2 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^3 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right] + $ $\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^1 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left[ {\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^2 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^3 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right] + $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/9/be96e891359a6eb4374b799d3c46ab2482.png)
![$\left[ {\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^5 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]$ $\left[ {\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^5 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/3/6c31d14e4f17c4bcb5b5fb2003a5f40482.png)
Эта формула
![$\left[ {\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^2 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^3 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]$ $\left[ {\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^2 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^3 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/f/c9ff40e8f3485ed5358ed821507f482f82.png)
количество пробелов одной величины. Затем количества пробелов с одинаковыми величинами складываем и сравниваем с количеством пробелов величиной (2). Если меньше, на интервале есть простые числа близнецы.
Ещё раз попробую объяснить, но иначе: Выносим

за скобки, Получим:
![$\prod\limits_{i = 1}^1 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left[ {\prod\limits_{i = 1}^2 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \prod\limits_{i = 1}^3 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right] + \left[ {\prod\limits_{i = 1}^4 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \prod\limits_{i = 1}^5 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]$ $\prod\limits_{i = 1}^1 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left[ {\prod\limits_{i = 1}^2 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \prod\limits_{i = 1}^3 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right] + \left[ {\prod\limits_{i = 1}^4 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \prod\limits_{i = 1}^5 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/e/42eb6555bd1c1672962c711e28aea1c882.png)
если то, что в квадратных скобках сложим, и сумма будет меньше (0,5). На интервале есть простые числа близнецы.
Если членов нечётное число сравниваем с

(0,5). Если чётное сравниваем с 0,5.
А теперь ещё раз. Два бесконечных ряда, первый ряд в частичных суммах только чётное число членов, второй ряд в частичных суммах только нечётное число членов.


ЕСЛИ…. сходимость, найти предел сходимости.
