Формула Кардано

[YevgeniyM]

формула вида:

$y=x-b/(3a) (1)$

При этом $x$ -- Формула Кардано, выражается через $q$ и $p$. Вопрос:
Можна ли как-то уравнение $(1)$ разрешить относительно $q$.

[незваный гость]

Если $x$ — формула Кардано, то $x^3 + p x + q = 0$. Выражаем отсюда $q$, и заменяем $x$ на $y + b/(3a)$. $q = - p (y + b/(3a))-(y + b/(3a))^3$. «И это вся история, // И ей цена пятак.»

[YevgeniyM]

Не правильно сформулировал.
Нужно решить неравенство
$x - b/(3a) > 0$
относительно $q$.

тоесть найти такое $q$ при котором хотябы один действитьельный корень куб. уравнения был положителен.

[незваный гость]

А-а-а-а. Для этого существуют классические методы отделения корней полинома, в Вашем случае, на интервале $(0, \infty)$.

[YevgeniyM]

вот интресно можно ли розрешить такое неравенство относительно $q$ в общем случае элементарными методами:

$\sqrt[3]{\frac{-q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} > a$

[нг]

Перепишите, пожалуйста, формулы, используя принятую на форуме нотацию ($\TeX$; введение, справка).

[YevgeniyM]

Все исправил!!!

[maxal]

YevgeniyM писал(а):

вот интресно можно ли розрешить такое неравенство относительно $q$ в общем случае элементарными методами:

$\sqrt[3]{\frac{-q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} > a$

Полностью - вряд ли. Но кое-какие простые частные решения можно указать.
Например, если $p\leq 0,$ то решение содержит интервал $(-\infty, -a^3 - pa).$

[незваный гость]

Еще раз: так замечательно (и громоздко) написанное выражение — не более, чем явная запись корня для полинома $x^3 + p x + q$. А Ваш вопрос перефразируется в «есть ли у (не к ночи помянутого) полинома корень, больший $a$».

Воспользуйтесь методом Штурма для отделения корней полинома на интервале $(a, +\infty)$, и будет Вам счастье, id est полный анализ ситуации.

Никакого смысла возиться с явной записью корня в этой ситуации нет. Исследование поведения полинома гораздо проще.

maxal писал(а):

если $p\leq 0,$ то решение содержит интервал $(-\infty, -a^3 - pa).$

Этот интервал всегда входит в решение. А при $p \geq 0$ решение в точности равно указанному Вами интервалу.

[YevgeniyM]

Для того, чтобы действительная часть хотябы одного корня полинома вида:

$a_0y^3+a_1y^2+a_2y+a_3=0$

была отрицательна необходимо и достаточно, чтобы определители Гурвица были положительны. Это есть такой критерий, который доказан для общего случая для:

$a_0y^n+...+a_n=0$

И не надо метода Штурма.

[незваный гость]

Вы, дорогой, уже в третий раз меняете условие задачи. То Вам нужно решить уравнение относительно $q$, то один положительный корень, то вещественная часть корней полинома… Знаете, скучно гадать, как Вы в очередной раз измените условие… Пойду я водку пьянствовать лучше.

Впрочем, трактуя сомнение в Ваше пользу: если Вы считатете, что критерий устойчивости Гурвица отвечает на заданный Вами вопрос, то вы заблуждаетесь. Рассмотрите $x^3+px+q$ при $p < 0,$ $a = 0.$ Этот полином всегда имеет корни с положительной вещественной частью, но только иногда (при $q \leq 2(-\frac{p}{3})^{3/2}$ ) положительный вещественный корень.

[YevgeniyM]

Ничего я не меняю. Это разные формулировки вопроса.

[color=blue][size=9]Добавлено спустя 8 минут 8 секунд:[/size][/color]

Проститие, что запутал!! :roll:

[незваный гость]

Не. Это совершенно разные вопросы. С разными ответами.

Oops. Заметил, что Вы поменяли утверждение номер 3. Но это не важно: ключевым моментом является разница между наличием положительного корня и наличием корня с положительной вещественной частью.

Поскольку кубическое уравнение всегда имеет хотя бы один вещественный корень, вопрос о его местонахождении вполне осмысленнен. С другой стороны, вопрос о вещественной части очень важен, он определяет устойчивость решений дифуров, фильтров и т.п.

[YevgeniyM]

Думаю тема ищерпала себя !!!!!!!!!!

[Алексей К.]

YevgeniyM писал(а):

Думаю тема ищерпала себя

Так, мелочь осталась... Да и не в тему это... Но "исчерпала" звучало бы как-то приятнее...