Экспонента и синус комплексного аргумента

[Ktina]

На Всесоюзной Студенческой Олимпиаде 1975г. предлагалась следующая задача:

Доказать или опровергнуть

$$z_1+e^{z_1}=z_2+e^{z_2}\quad\to\quad \sin{z_1}=\sin{z_2}$$

(всяко $z_1, z_2\in\mathbb C$, иначе задача предлагалась бы на занятии маткружка старшеклассников)

Очень частный случай ($z_1=x, \quad z_2=y,\quad x, y\in\mathbb R$) решается тривиально:

$$(x+e^x)'=e^x+1>0\quad\to$$

функция монотонно возрастает, а значит, $x=y$ и следовательно их синусы равны друг другу.

Для $z_1, z_2\in\mathbb C$ чувствую, что ответ будет "нет".
Альфа показывает, что уравнение $z+e^z=0$ имеет бесконечно много решений. Вряд ли у всех этих решений синусы одинаковы.

Но мне не хватает знаний, чтобы это доказать.
Что такое вообще синус комплексного числа? А экспонента комплексного числа? Я знаю только одну, почти школьную, формулу: $e^{i \pi} + 1 = 0$, а больше ничего пока не знаю.

Пожалуйста, помогите решить.

[ИСН]

Дак больше почти ничего и не надо.
То есть так: $e^{iz}=\cos z+i\sin z$ - отсюда проистекает объяснение комплексных экспонент через обычные сикось-косинусы, и наоборот.

[Ktina]

ИСН в сообщении #725251 писал(а):

Дак больше почти ничего и не надо.
То есть так: $e^{iz}=\cos z+i\sin z$ - отсюда проистекает объяснение комплексных экспонент через обычные сикось-косинусы, и наоборот.

Всё равно не соображу, как контрпример построить. Альфа делает это через функцию $W$.

[Ms-dos4]

Ktina в сообщении #725252 писал(а):

Всё равно не соображу, как контрпример построить. Альфа делает это через функцию $W$.

А он и не будет простой. Тут задачу можно немного переформулировать. Распишем подробно уравнение
$\[{x_1} + i{y_1} + {e^{{x_1}}}(\cos {y_1} + i\sin {y_1}) = {x_2} + i{y_2} + {e^{{x_2}}}(\cos {y_2} + i\sin {y_2})\]$
Ясно, что равенство будет когда действительная часть равна действительной а мнимая мнимой. То же самое делаем для второго уравнения
$\[\sin {x_1} \cdot {\mathop{\rm ch}\nolimits} {y_1} + i\cos {x_1} \cdot {\mathop{\rm sh}\nolimits} {y_1} = \sin {x_2} \cdot {\mathop{\rm ch}\nolimits} {y_2} + i\cos {x_2} \cdot {\mathop{\rm sh}\nolimits} {y_2}\]$
Теперь нужно показать, что из
$\[\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {e^{{x_1}}}\cos {y_1} = {x_2} + {e^{{x_2}}}\cos {y_2}\\ {y_1} + {e^{{x_1}}}\sin {y_1} = {y_2} + {e^{{x_2}}}\sin {y_2} \end{array} \right.\]$

НЕ следует

$\[\left\{ \begin{array}{l} \sin {x_1} \cdot {\mathop{\rm ch}\nolimits} {y_1} = \sin {x_2} \cdot {\mathop{\rm ch}\nolimits} {y_2}\\ \cos {x_1} \cdot {\mathop{\rm sh}\nolimits} {y_1} = \cos {x_2} \cdot {\mathop{\rm sh}\nolimits} {y_2} \end{array} \right.\]$

Вот показать обратное (т.е. что из $\[\sin {z_1} = \sin {z_2}\]$ не следует $\[{z_1} + {e^{{z_1}}} = {z_2} + {e^{{z_2}}}\]$) элементарно - т.к. действительная часть в одином случае периодична, а в другом нет.

А вот с вопросом задачи труднее. Здесь вряд-ли можно получить контрпример в виде элементарной функции, т.к. приходится решать уравнения, где неизвестное стоит и в "явном" виде и в показателе экспоненты, откуда и лезут функции Ламберта.

P.S.Надеюсь в выкладках не напортачил.

[provincialka]

Попробуем найти решения $z_1, z_2$ так, чтобы их синусы были точно не равны. Ну, например, в виде $z_2=z_1+1$. Подстановка это равенства в исходное уравнение дает $e^{z_1}=-\frac{1}{e-1}$. Конечно, в вещественных числах это равенство не решается, но в комплексных - пожалуйста! В комплексном случае логарифма не существует только у нуля.
Итак, числа $z_1=-\ln(e-1)+i\pi$ и $z_2=1-\ln(e-1)+i\pi$ дают требуемый контрпример.

[nnosipov]

provincialka в сообщении #725263 писал(а):

Попробуем найти решения $z_1, z_2$ так, чтобы их синусы были точно не равны. Ну, например, в виде $z_2=z_1+1$.

Вообще-то уравнение $\sin{z_1}=\sin{(z_1+1)}$ имеет корни. Но все они вещественны, поэтому контрпример корректен.

[hippie]

Учитывая, что задача предлагалась в третьей секции (гуманитарные факультеты, институт лёгкой промышленности, институт пищевой промышленности и т.п.) её, всё-таки, предполагалось решать в действительных числах .

В комплексных числах легко показать, что все корни уравнения $e^z+z=\operatorname{const}$ можно записать в виде двусторонней последовательности $(z_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ и при этом $\lim\limits_{n\to\infty}\operatorname{Im}z_n = \infty.$ Следовательно, и $\lim\limits_{n\to\infty}|\sin z_n| = \infty.$

[provincialka]

nnosipov в сообщении #725290 писал(а):

provincialka в сообщении #725263 писал(а):

Попробуем найти решения $z_1, z_2$ так, чтобы их синусы были точно не равны. Ну, например, в виде $z_2=z_1+1$.

Вообще-то уравнение $\sin{z_1}=\sin{(z_1+1)}$ имеет корни. Но все они вещественны, поэтому контрпример корректен.

Спасибо! Я как-то об этом не подумала