Деление с остатком в произвольном поле

[somebody_someone]

Здравствуйте, нужно доказать, что любое поле - Евклидово кольцо. Выходит, нужно рассмотреть деление с остатком в произвольном поле, так? А что делать с нормой? От чего вообще отталкиваться?
Пока могу только написать, что т. к. в поле все ненулевые элементы обратимы, то можно осуществлять деление.
Спасибо!

[Sonic86]

somebody_someone в сообщении #724498 писал(а):

Пока могу только написать, что т. к. в поле все ненулевые элементы обратимы, то можно осуществлять деление.

Ну! А чему равна норма нуля?

[somebody_someone]

Sonic86 в сообщении #724513 писал(а):

Ну! А чему равна норма нуля?

Видимо, нулю. Но все равно не понимаю, к чему Вы клоните...

[Joker_vD]

somebody_someone в сообщении #724601 писал(а):

Видимо, нулю.

Обычно чему-нибудь отрицательному, может, даже $-\infty$. Ну дайте всем ненулевым элементам для начала норму $1$, а там видно будет.

[somebody_someone]

Joker_vD в сообщении #724617 писал(а):

Обычно чему-нибудь отрицательному, может, даже $-\infty$. Ну дайте всем ненулевым элементам для начала норму $1$, а там видно будет.

А тут у меня встречный вопрос, мучающий меня давно: как же кольцо целых чисел, где норма - модуль. откуда берется эта единица?

[Sonic86]

somebody_someone в сообщении #724627 писал(а):

как же кольцо целых чисел, где норма - модуль. откуда берется эта единица?

так $\mathbb{Z}$ - это не поле.

[somebody_someone]

Sonic86 в сообщении #724653 писал(а):

так $\mathbb{Z}$ - это не поле.

Точно, мы же не о кольцах. Хорошо, тогда на каком основании я могу задать именно такую норму?
Или просто по действовать по схеме "предположим, что..."?

-- 16.05.2013, 18:21 --

Можно, конечно, сказать, что в поле есть единица, поэтому можно задать норму таким образом (тогда у нас буду выполняться требования к норме для Евкл. кольца). Но что тогда делать с нулевыми элементами?

[Sonic86]

somebody_someone в сообщении #724659 писал(а):

Хорошо, тогда на каком основании я могу задать именно такую норму?

Норму можно задавать любую, какую хотите, лишь бы определению удовлетворяло. Вы вернитесь к наиболее содержательному высказыванию:

somebody_someone в сообщении #724498 писал(а):

в поле все ненулевые элементы обратимы

Выпишите определение нормы (ну или вспомните). Посмотрите на него, сопоставьте с предыдущим фактом.

[somebody_someone]

Sonic86 в сообщении #724662 писал(а):

Вы вернитесь к наиболее содержательному высказыванию:

somebody_someone в сообщении #724498 писал(а):

в поле все ненулевые элементы обратимы

Выпишите определение нормы (ну или вспомните). Посмотрите на него, сопоставьте с предыдущим фактом.

Норма будет сопоставлять обратимым элементам обратимые, значит, можно сопоставлять и единицу, норма существует для любого обратимого (то есть для всех ненулевых) элемента.

-- 16.05.2013, 19:07 --

А вот в поле комплексных чисел выходит, что норма нуля равна нулю (сумма квадратов коэффициентов), да?

[Sonic86]

somebody_someone в сообщении #724679 писал(а):

Норма будет сопоставлять обратимым элементам обратимые, значит, можно сопоставлять и единицу, норма существует для любого обратимого (то есть для всех ненулевых) элемента.

Вот. Вы определили функцию, которая только и может быть нормой. Теперь проверьте по определению, что она - норма и все.

[somebody_someone]

Как же тогда комплексные числа, не пойму! Не всегда получится единица из $a^2+b^2$.

[Xaositect]

Это не та норма.

[somebody_someone]

Xaositect в сообщении #724701 писал(а):

Это не та норма.

Ага, вот оно что. ну да, действительно, мы можем выбрать любую подходящую функцию, для доказательства, главное, найти хотя бы одну.
Неудобно спрашивать, но какое определение нормы вы предлагаете использовать?
Мы норму как таковую и не определяли. Просто когда давали определение Евкл. кольца, говорили, что должна существовать такая функция, которая удовлетворяет условиям....
Вероятно, Вы это и имели в виду? (норма от остатка меньше нормы от делителя (правда,здесь тогда не выходит $1>1$); норма от произведения больше либо равна норме от сомножителя)

[Xaositect]

Норма - это немножко перегруженное слово в математике.
Есть норма в определении евклидова кольца, есть норма в определении нормированного пространства, есть норма элемента расширения поля. Это все разные понятия.

-- Чт май 16, 2013 19:43:47 --

somebody_someone в сообщении #724706 писал(а):

Вероятно, Вы это и имели в виду? (норма от остатка меньше нормы от делителя (правда,здесь тогда не выходит $1>1$); норма от произведения больше либо равна норме от сомножителя)

Да, это.
И все здесь выходит, остаток же у нас всегда получается какой?

[somebody_someone]

Xaositect в сообщении #724714 писал(а):

Норма - это немножко перегруженное слово в математике.
Есть норма в определении евклидова кольца, есть норма в определении нормированного пространства, есть норма элемента расширения поля. Это все разные понятия.

Я как раз говорю про Евклидово кольцо, но с первым свойством беда...