Сходимость ряда

[sopor]

Наткнулся на ряд, и никак не получается с ним разобраться
$\sum \frac {n^{\sqrt\ln n}}{\ln^{\sqrt{n}} n}$
Коши не помог, представление в виде экспоненты тоже... может, сравнить с чем-то? Но с чем?

[ИСН]

Буквально ведь только что было: topic72083.html

[sopor]

ИСН в сообщении #724292 писал(а):

Буквально ведь только что было: topic72083.html

Там применяется Коши, и с ним всё получается. Здесь Коши даёт единицу

[mihailm]

сделайте основание не $e$, а $n$

[Ms-dos4]

Используем логарифмический признак
$ \[{L_n} = \frac{{\ln \frac{1}{{{a_n}}}}}{{\ln n}} = \frac{{\ln \frac{{{{\ln }^{\sqrt n }}n}}{{{n^{\sqrt {\ln n} }}}}}}{{\ln n}} = \frac{{\sqrt n \ln [\ln n] - \sqrt {\ln n} \cdot \ln n}}{{\ln n}} = \frac{{\sqrt n \ln [\ln n]}}{{\ln n}} - \sqrt {\ln n} \]$

$\[L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {L_n} = \infty \]$

Ряд сходится

[ИСН]

sopor в сообщении #724301 писал(а):

Там применяется Коши, и с ним всё получается.

Там даётся совет посмотреть на эту штуку сквозь прицел логарифма, для начала. На что она похожа на бесконечности?

[sopor]

Спасибо, вот уж не думал, что когда-нибудь логарифмический признак будет необходим)

[ewert]

sopor в сообщении #724379 писал(а):

вот уж не думал, что когда-нибудь логарифмический признак

а что за признак-то?...

[SpBTimes]

Зачем вычурные признаки?
$\frac{e^{\ln^{3/2}(n)}}{e^{\sqrt{n}\ln(\ln(n))}} \leqslant \frac{e^{n^{1/4}}}{e^{\sqrt{n}}} \leqslant \frac{1}{n^2}$

[Ms-dos4]

ewert в сообщении #724382 писал(а):

а что за признак-то?...

Ряд $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \]$ где $\[{a_n} > 0\]$ сходится, если найдётся такое $\[k > 0\]$, что для любых $\[n > N\]$ будет выполнено $\[\frac{{\ln \frac{1}{{{a_n}}}}}{{\ln n}} > 1 + k\]$
Ну или что то же самое, ряд сходится, если
$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\ln \frac{1}{{{a_n}}}}}{{\ln n}} > 1\]$.
(в случае равенства единице ответа признак не даёт).

[sopor]

SpBTimes в сообщении #724395 писал(а):

Зачем вычурные признаки?
$\frac{e^{\ln^{3/2}(n)}}{e^{\sqrt{n}\ln(\ln(n))}} \leqslant \frac{e^{n^{1/4}}}{e^{\sqrt{n}}} \leqslant \frac{1}{n^2}$

Можно поподробнее про последнюю оценку?

[ewert]

$e^{\ln^{3/2}(n)-\sqrt{n}\ln(\ln(n))}< e^{-\frac12\sqrt{n}\ln(\ln(n))}<e^{-2\ln(n)}=n^{-2}$

Ms-dos4 в сообщении #724406 писал(а):

Ну или что то же самое, ряд сходится, если
$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\ln \frac{1}{{{a_n}}}}}{{\ln n}} > 1\]$.

Ну или, что то же, если $a_n<n^{-(1+k)}$. Не вижу логарифмов.

[Ms-dos4]

Цитата:

Ну или, что то же, если . Не вижу логарифмов.

Логарифмы нужны лишь для "удобства" - все степени сразу "спускаются". Мне вот например сразу не очевидно, что начиная с какого-то члена все будут меньше соотв. обобщ. гарм. ряда (хотя, конечно, это можно показать).
P.S.А так конечно ясно, на чём "основан" данный критерий.

[SpBTimes]

sopor в сообщении #724416 писал(а):

Можно поподробнее про последнюю оценку?

идея в том, что $\ln(n) \leqslant n^a \forall a > 0$ начиная с некоторого $n$