по производным восстановить функцию

[eiler13]

можно ли найти $\varphi(x,y,\xi,\eta)$ не привлекая численные методы?

$\frac{\partial \varphi}{\partial \xi}=-\frac{1}{\eta}\frac{x-\xi}{r^2}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial \eta}=\frac{1}{\eta}\frac{y-\eta}{r^2}+\frac{1}{\eta^2}\ln r, \quad r=\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2},\quad \eta>0.$

Если можно получить выражение для $\varphi$. то как?

[ИСН]

Много букв, проверять долго. Сделайте доброе дело: от производной по $\xi$ возьмите ещё раз производную по $\eta$. А также наоборот. Получится одно и то же, или нет?

[arseniiv]

У какой-то из них попутан знак.

[eiler13]

arseniiv в сообщении #724192 писал(а):

У какой-то из них попутан знак.

да неправильно выписал , хдесь хуже - перепутал переменные

[Ms-dos4]

А в чём проблема? Интегрируем сначала одну производную потом другую
$\[\varphi = \int {\frac{1}{\eta }\frac{{x - \xi }}{{\sqrt {{{(x - \xi )}^2} + {{(y - \eta )}^2}} }}d\xi } + f(x,y,\eta ) = - \frac{1}{{2\eta }}\ln [{(x - \xi )^2} + {(y - \eta )^2}] + f(x,y,\eta )\] $
$\[\varphi = \int {\frac{1}{\eta }\frac{{y - \eta }}{{\sqrt {{{(x - \xi )}^2} + {{(y - \eta )}^2}} }}d\eta } + \int {\frac{1}{{{\eta ^2}}}\ln [\sqrt {{{(x - \xi )}^2} + {{(y - \eta )}^2}} ]d\eta } + g(x,y,\xi ) = - \frac{1}{{2\eta }}\ln [{(x - \xi )^2} + {(y - \eta )^2}] + g(x,y,\xi )\]$
Отсюда видно, что $\[f(x,y,\eta ) = g(x,y,\xi ) = \psi (x,y)\]$
Итого

$\[\varphi = - \frac{1}{{2\eta }}\ln [{(x - \xi )^2} + {(y - \eta )^2}] + \psi (x,y)\]$

[eiler13]

извиняюсь, я в условии задачи выше перепутал переменные при наборе.

задача серьезнее, нужно найти $\varphi$ удовлетворяющее выражению

$\eta\frac{\partial}{\partial \vec{n}(\xi,\eta)}\left(-\frac{\ln r}{\eta}\right)=-\frac{\partial \varphi}{\partial \vec{\tau}(\xi,\eta)}, \quad r=\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2}$,

где $\vec{n}$ - нормаль, $\vec{\tau}$ - касательная.

с учетом $\vec{n}=\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}\right)\vec{\tau}$

получаем:

$\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\xi},\frac{\partial\varphi}{\partial\eta}\right)=\left(\eta\frac{\partial}{\partial\eta}\left(-\frac{\ln r}{\eta}\right),-\eta\frac{\partial}{\partial\xi}\left(-\frac{\ln r}{\eta}\right)\right)$


итог

$\frac{\partial\varphi}{\partial\xi}=\frac{1}{\eta}\ln r + \frac{y-\eta}{ r^2}, \quad \frac{\partial\varphi}{\partial\eta}=\frac{x-\xi}{r^2}$

[bot]

(Оффтоп)

eiler13 в сообщении #724195 писал(а):

хдесь хуже

Буквы з и х на клавиатуре рядом ... Осторожно, не обидьте невзначай т.Зуева

[provincialka]

(Оффтоп)

и не лень вам было греческие буквы набирать - от этого все зло! Писали бы латинские, прямо с клавиатуры

.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Не понимаю, кто придумал, что $x : \xi = y : \eta$. Есть же $\upsilon$, а вот $\eta$ ближе к $h$! А если ипсилон не нравится, есть ещё $\psi$.

[provincialka]

(Оффтоп)

ну как же, икс произошел от кси (ведь латинский алфавит - это переделанный греческий). $Y$ - это "и греческое". $Z$ = дзета

[eiler13]

тема закрыта, получилось