Задача о массе бруска

[Липин Сергей]

1) Дан брусок с квадратным сечением;
2) на токарном станке из бруска равномерно по всей длине стали вытачивать брусок с круглым сечением максимально возможного диаметра;
3) половина массы дерева, предполагаемого к удалению с квадратного бруска для достижения им круглого сечения, была удалена;
4) на другом станке бруску вернули форму квадрата максимального возможного размера стачиванием граней.

Вопрос - Во сколько раз уменьшилась масса бруска в процессе двух обработок?

Верно ли я сделал рисунок к задаче? Не пойму, как разобраться с массами из третьего пункта?

[Nacuott]

Пункт 3) неясен.

[provincialka]

Nacuott в сообщении #723397 писал(а):

Пункт 3) неясен.

Ну, видимо станок стачивает все вне некоторого радиуса. Нужный (в п.2) результат получится, если сточить до радиуса $a/2$, где $a$ - сторона квадрата.
Надо посчитать сточенный объем, поделить его пополам и подобрать меньший радиус, для которого сточенная часть в 2 раза меньше. Чисто счетная задача.

[Nacuott]

provincialka, Вы еще хуже сформулировали пункт 3).
Там, по-видимому, нужно понимать так: половина сточенного объема из п.1) отрезать от круглого бруса.
Конечно, это не задача, а баловство

[provincialka]

В п. 1 еще ничего не стачивали.
В моем тексте опечатка: радиус не меньше, а больше, так как сточено меньше.

Прямое решение дает противное уравнение совмещающее многочлен и арксинус. Решать не хочется.

[Липин Сергей]

Nacuott, provincialka, спасибо за ваши ответы!

Привожу решение от автора задачи.


Масса бруса пропорциональна объёму бруса, а объём бруса (так как обработка бруса по условию идёт равномерно по всей длине) пропорционален площади поперечного сечения бруса.
Поэтому, рассматривать будем именно поперечное сечение бруса. Изначально поперечное сечение это квадрат со стороной $2r$. Площадь такого сечения равна $4r^2$.
Когда брус начали обрабатывать, с бруса стачивали углы равномерно по окружности с центром в центре квадрата (радиус $R$ постепенно уменьшался). Конечный результат такого стачивания должен был быть круг радиуса $r$, а его площадь - $\pi*r^2$.
Когда радиус $R$ был таким, что площадь была равна среднеарифметическому между начальной и конечной, стачивание остановили. Из текущего сечения надо теперь получить снова квадрат максимального размера - это квадрат с диагональю $2R$, именно этот квадрат - то что получилось в финале операции.

Начнём с того, что зная $r$ и $R$, найдём площадь фигуры, которая была во время работы токарного станка. Как видно на рисунке, эта фигура представляет собой $4$ равных равнобедренных треугольника и $4$ равных сектора (квадрат разделён осями симметрии на 4 равные части). Найдём площади этих составляющих.
Площадь треугольника с вертикальной штриховкой равна половине произведения сторон и синуса угла между ними, т.е. в нашем случае $S_T=R^2*sin(2*\varphi)/2$.
Площадь сектора вычисляется по формуле $\theta*r^2/2$, где $\theta$ - угол между радиусами, образующими сектор. В нашем случае $\theta=\pi/2 - 2*\varphi$.
$S_C=(\pi/4-\varphi)*R^2$.

Угол $\varphi$ является углом при катете прямоугольного треугольника, где прямой угол - угол между бывшей гранью квадратного сечения и горизонтальной осью симметрии. Так как ось симметрии параллельна одной грани, она перпендикулярна прилежащим к ним. Так как угол $\varphi$ лежит при катете $r$ и гипотенузе $R$ прямоугольного треугольника, зависимость между $r$, $R$ и $\varphi$ следующая:
$r/R=cos(\varphi)$.
Подставим $R=r/cos(\varphi)$ в наши площади и найдём площадь всего сечения:
$S=4(S_T+S_C)=2*R^2*sin(2*\varphi)+(\pi-4*\varphi)*R^2$,
$(1)$: $S=R^2(2sin(2*\varphi)+\pi-4*\varphi)=(2sin(2*\varphi)+\pi-4*\varphi)r^2/cos^2(\varphi)$.

В то же время, нас интересует та площадь, когда она была равно удалена от начального ($4*r^2$) и конечного состояния ($\pi*r^2$), т.е.
$(2)$: $S=(2+\pi/2)r^2$.
Подставляя $S$ из $(2)$ в $(1)$, получаем:
$(2+\pi/2)r^2=(2sin(2*\varphi)+\pi-4*\varphi)r^2/cos^2(\varphi)$,
$(2sin(2*\varphi)+\pi-4*\varphi)/cos^2(\varphi)-(2+\pi/2)=0$.
С помощью табличного редактора или инструмента подбора параметра находим приблизительный корень уравнения: $\varphi=0.4399202309$.
Мы нашли сейчас тот самый угол $\varphi$, при котором брус от квадратного до круглого сечения прошёл ровно половину потери веса. В этой отметке радиус $R$ равен:
$R=r/cos(\varphi)=1.105234167r$,
а площадь квадрата, который вновь был получен стачиванием граней из промежуточной фигуры, равна половине произведения диагоналей, где диагональ равна $2R$. Таким образом площадь финальной фигуры:
$S_f=(2R)^2/2=2.4430851279r^2$.
Т.е. площадь уменьшилась с $4r^2$ до $2.4430851279r^2$, или в $1.6372740984$ раза.

[provincialka]

На вашей картинке красный контур показывает окончательное сечение бруска? Мне больше нравилось то, которое нарисовано в первом посте (наискосок, оно больше).
Впрочем, его наверное нелегко получить практически: трудно таким образом зажать брусок в инструменте.

[Липин Сергей]

provincialka в сообщении #723993 писал(а):

На вашей картинке красный контур показывает окончательное сечение бруска? (наискосок, оно больше)

Да, красный контур - окончательный. Если сравнить квадраты, то их площади на самом деле одинаковы, т.к. они вписаны в одну окружность, но под разным углом.