Класс Эйлера 2n мерной сферы

[lt3km]

Задача. Посчитать $$\int_{S^{2n}}e(S^{2n})
В этой записи иммется ввиду касательное расслоение над сферой.
$ e(\xi) $ определяется как $ \frac {1} { {2\pi}^n } C_{Pf_{n}}(\xi) $ здесь $\xi$ это 2n-мерное вещественное расслоение со структурой $SO(2n)$-расслоения


Я решил эту задачку, но экзаменатор что то сказал про то что наверно есть более оптимальный способ решения основанный на том что форма кривизны у сферы не зависит от точки.( я не очень понимаю это утверждение, хотя интуитивно сфера одинакова кривая во всех точках)
Теперь что получилось у меня(мое решение видимо правильное, по крайне мере ответ верный)

Берется связность Леви-Чевита. Метрика берется из стереограффической проекции т.е.
$ g_{ii} = \frac {16} {(4+\sum(x^i)^2)^2}$ ну а $g_{ij}=0$ при i не равно j Форма связности $A=(\Gamma_{ij}^{k} e^i\otimes e_k) dx^j$ Форма кривизны $\Omega = dA + A \wedge A$ Посчитав форму кривизны получил $\Omega_i^k = \frac {16} {(4+\sum(x^i)^2)^2} dx^k \wedge dx^i$ Далее берется пфаффиан $Pf_{2n}(\Omega) = \frac {1} {2^nn!} (2n)! \frac {16^n} {(4+\sum(x^i)^2)^{2n}} dx^1 \wedge ... \wedge dx^{2n} $ Далее считаем от этого интеграл и умножев на $1/(2\pi)^n$ получаем правильный ответ 2
Теперь вопрос такой когда я использовал метрику то получил что форма кривизны зависит от точки. И это видимо связанно с метрикой которую мы вводим. И вот в этом месте мне не понятно что иммел ввиду экзаминатор говоря о более просто решении, ключевая идея которого то что при вращениях сфера переходит в себя. Поясните пожалуйста кто знает.