Площадь получается ноль, почему?

[number_one]

Otta в сообщении #723821 писал(а):

Отлично. А теперь уже подобный Вашему примеру. Площадь, ограниченная областью, $x^2+y^2<1, x^2+y^2<2y$. Тоже достаточно интеграл.

$S=\int\limits_0^{\pi} d\varphi \int\limits^{1}_{2\sin\varphi}rdr$

[Otta]

number_one в сообщении #723832 писал(а):

$S=\int\limits_0^{\pi} d\varphi \int\limits_{1}^{2\sin\varphi}rdr$

number_one
Нет. Это Ваша ошибка номер раз - Вы не смотрите порядок, в котором меняется r, где больший предел интегрирования, где меньший.
Если Вы сейчас напишете интеграл для области $x^2+y^2>1, \; x^2+y^2<2y$, то вылезет Ваша ошибка номер два. Ну-ка попробуйте.

Исправив его, вернитесь к первому. Он-таки неверный.

-- 14.05.2013, 19:22 --

Ага, исправился. :)

[number_one]

Otta в сообщении #723839 писал(а):

напишете интеграл для области $x^2+y^2>1, \; x^2+y^2<2y$, то вылезет Ваша ошибка номер два. Ну-ка попробуйте.

Так? $S=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} d\varphi \int\limits_{1}^{2\sin\varphi}rdr$

[Otta]

А пределы по $r$ почему такие? А, все, теперь нормально.
А вот теперь возвращаемся к предыдущему и правим там ошибки. Теперь виднее будет.

[Ms-dos4]

Кстати,вашу изначальную задачу можно решить немного другим способом - разбить вашу область на 2 криволинейных сектора (по прямой $\[\varphi = \frac{{2\pi }}{3}\]$) и дальше использовать формулу
$\[S = \frac{1}{2}\int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {{r^2}(\varphi )d\varphi } \]$ для каждого из этих секторов. Ну и результаты сложить.
Может быть это будет для вас проще.

[Алексей К.]

А мы площадь объединения считаем или пересечения? Или ещё хуже?

[number_one]

Кажется, я понял!!!

Найдем точки пересечения $1-a\cos\varphi=\sqrt 3 a\sin\varphi$

$\sqrt 3 a\sin\varphi+a\cos\varphi=1$

При $a=1$.

$\sqrt 3 \sin\varphi+\cos\varphi=1$

$x=0;\dfrac{2\pi}{3}$

$S=\int\limits_0^{\frac{2\pi}{3}} d\varphi \int\limits^{\sqrt 3 a\sin\varphi }_{a-a\cos\varphi}rdr$

Теперь верно?

-- 14.05.2013, 17:46 --

Алексей К. в сообщении #723864 писал(а):

А мы площадь объединения считаем или пересечения? Или ещё хуже?

Наверное, пересечения...

[provincialka]

Опять в правой части 1? У вас в условии есть справа $a^2$ или нет? И почему вы пределы только для $a=1$ вычисляете?

[Ms-dos4]

Что то мне кажется, вы своей расстановкой пределов потеряли часть области.
Я вам что говорил делать? Разбивать на 2 криволинейных сектора...

[Алексей К.]

number_one в сообщении #723865 писал(а):

Найдем точки пересечения $1-a\cos\varphi=\sqrt 3 a\sin\varphi$

Опять неправы. Я хоть задачу не понимаю, но нарушение размерностей (недавно скорректированных) налицо. Значит --- ошибка. Сто процентов.

-- 14 май 2013, 18:50:28 --

Нельзя от просто единицы отнимать $a\cos\varphi$ сантиметров!

[number_one]

Найдем точки пересечения $a-a\cos\varphi=\sqrt 3 a\sin\varphi$

$\sqrt 3 a\sin\varphi+a\cos\varphi=a$

$\sqrt 3 \sin\varphi+\cos\varphi=1$

$x=0;\dfrac{2\pi}{3}$

$S=\int\limits_0^{\frac{2\pi}{3}} d\varphi \int\limits^{\sqrt 3 a\sin\varphi }_{a-a\cos\varphi}rdr$

[Ms-dos4]

number_one
Вы не ту область считаете

[Otta]

Ms-dos4 в сообщении #723878 писал(а):

Вы не ту область считаете

Дык вот, да! а какую надо? нам никто и не сказал.
Их там три штуки ограниченных этими двумя кривыми.

[number_one]

Ms-dos4 в сообщении #723868 писал(а):

Что то мне кажется, вы своей расстановкой пределов потеряли часть области.
Я вам что говорил делать? Разбивать на 2 криволинейных сектора...

$S=0,5\int\limits_0^{\frac{2\pi}{3}} \left(\sqrt 3 a\sin\varphi \right)^2d\varphi + 0,5\int\limits_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \left(a-a\cos\varphi \right)^2d\varphi $

Вот так?

[Алексей К.]

number_one в сообщении #723875 писал(а):

$x=0;\dfrac{2\pi}{3}$

Что за икс? Исправьте, что ли.