О методе бесконечного спуска.

[ananova]

Отсечения можно делать арифметическими ограничениями, например. А их очень много. Эти ограничения приведут к минимизации области допустимых значений. И лишь 1-2 из них могут закрыть проблему.

[podast]

Коровьев в сообщении #260465 писал(а):

Все известные мне доказательства несуществования решений частных случаев БТФ и Диафантовых уравнений близких к БТФ так или иначе основываются на методе бесконечного спуска.

А не умнее ли назвать такой метод доказательства ВТФ как метод "математической мастурбации" - ведь спускают и спускаются же до изнеможения. Ну сколько же можно за прошедшие 350 лет ... .Где же, наконец, те простые формулы расчёта "уравнения Ферма", подобные формулам древних индусов (то же Пифагора).

[Dogon]

А если так:
запишем упоминавшееся уравнение следующим образом:
$x^2+a^2=3b^2$
Пусть $x>a$, тогда $b<x$
Пример: $48^2+47^2=3(38,785...)^2$
$b=38,785...<x=48$
Пусть: $b=c-x$
Тогда: $x^2+a^2=3(c-x)^2 =3c^2-6cx+3x^2$
Отсюда: $2x^2-6cx+(3c^2-a^2)=0$
Принимаем: $x$- четное число; $a$- нечетное число.
Тогда: $b$- нечетное число; $c$- нечетное число.
Решая квадратное уравнение, получим:
$x=\frac{6c\pm2\sqrt{3c^2+2a^2}}{4}$ (1)
Поскольку числа $a, c$ имеют одинаковую четность, то если число, извлеченное из-под корня, целое, то оно четное число, т.е. должно
выполняться равенство:
$\sqrt{3c^2+2a^2}=2N$.
Тогда из уравнения (1) следует:
$x=\frac{6c\pm4N}{4}$
Не зависимо от того является число $N$, в сою очередь,
четным или нечетным числом, то поскольку $c$ нечетное
число, то $6c$ кратно $2$.
Сумма двух чисел, из которых одно кратно $2$, а другое кратно $2^n$, не делится на $4$ т. е. частное не является целым числом.
Следовательно, уравнение $x^2+a^2=3b^2$ не имеет решения в целых числах.

[Shadow]

Dogon, какое отношение имеет это уравнение к теореме Ферма?
Предлагаю Вам доказать, что сумма квадратов двух целых чисел делится на 3, только если оба числа делятся на 3.

[shwedka]

Dogon
Возьмите учебник по теории чисел и прочитайте о теореме Ферма-Эйлера.
Число представимо в виде суммы двух взаимно простых квадратов тогда и только тогда, когда у числа нет простых множителей, дающих остаток 3 при делении на 4.

[vorvalm]

По-моему, на сцене вновь появилась тень "Marcopolo"

[AKM]

Dogon заблокирован как клон.

[Sandor]

age

6. Решена задача не как была сформулирована Гильбертом, а как представил эту формулировку Матиясевич.
7. Решать не надо было другую задачу, ее надо решать сейчас, т.к. она до сих пор не решена.

Первая часть предложения 6. – по моему мнению – явно верна, вторая заведомо нет (о 7. – по ходу). Понятия «общий метод» и «общий алгоритм» сочли адекватными раньше, другие математики! Матиясевич дал завершающее решение на ошибочно переформулированную 10. проблему.

Гильберт требовал «общий метод» и считал, что он существует! Отрицательный исход решения не предполагался. Теория алгоритмов – в настоящем понимании – при жизни Гильберта не существовала. Посему Гильберт не мог требовать «общего алгоритма». Итак, Гильберт требовал метод, следуя которому человек руководится единой цепью логических и вычислительных операций для решения любого полиномиального диофантова уравнения (собственно, требовал общий метод представления разрешающих формул).

Сторонники теории алгоритмов, проблему определяют так: »Существует ли алгоритм, который по многочлену ${\text{F(x}}{\text{,y}}{\text{,}} \cdot \cdot \cdot {\text{)}}$ с целыми коэффициентами в конечном процессе определяет, имеет уравнение ${\text{F(x}}{\text{,y}}{\text{,}} \cdot \cdot \cdot {\text{)}} = 0$ решение в целых числах или нет?».

Данное Матиясевичем на неадекватный вопрос отрицательное доказательство верное! Но и без его доказательства, из-за требований к алгоритму, ответ заведомо отрицательный – источник входной информации общего алгоритма бесконечный (бесконечное множество разрешающих формул). Однако из этого факта решение 10. проблемы явно не следует!

По теории: »алгоритм существует – множество разрешимо», «множество разрешимо – существует алгоритм». Определения взаимные! Без источника внешней информации – множества разрешающих формул (или множества решений) – определения иррелевантны.

Отрицательное доказательство исходит из существования перечислимого неразрешимого множества! Но свойства множества решений, то есть следствия решений, для 10. проблемы иррелевантны! Ибо она, требует «общий метод» представления источника множества решений, а не алгоритмические свойства множества решений, имеющие силу только в теории алгоритмов! Возможность «общего метода» представления источника множества решений отрицательное доказательство обходит!

Знаем, для уравнений с одним неизвестным пятой степени и выше не существует общего метода, выражающего корни уравнения через его коэффициенты. Этот факт ещё более убедительный для уравнений с неограниченным числом степени, переменных.

Существование перечислимых неразрешимых множеств – факт. Но для определения этого факта множества необходимо представить. Значит, множества решений исходят из реальных процессов и определимы. Следовательно, множества неразрешимы не вообще, а алгоритмически. Их неразрешимость является не причиной, а следствием отсутствия алгоритма! Причиной отсутствия «общего алгоритма» является противоречие бесконечной входной информации требованиям алгоритма. Необходимо акцентировать, что существование перечислимых неразрешимых множеств заверяет отсутствие «общего алгоритма», но не исключает, а предполагает, определения элементов множества по-иному!

Как приведено выше, свойства уравнений высших порядков и метод получения из них разрешающих формул не прослеживаются исходя из степеней и коэффициентов многочленов, свойств множества решений. Поэтому из них не исходит информация для представления «общего метода». Но отсутствие «общего алгоритма» доказывается бесконечным множеством разрешающих формул! Значит, «Общий метод» – источник бесконечного множества разрешающих формул – и «Общий алгоритм», исходящий из этого бесконечного множества, разные понятия. Первое даёт общее правило получения из уравнений разрешающих формул, представляющих элементы множества решений в произвольном порядке, или доказуемость их отсутствия. Второе не существует. А «конкретные (частные) алгоритмы», исходящие из разрешающих формул, обеспечивают алгоритмическое определение элементов множества или доказуемость их отсутствия.

Обобщая необходимо подчеркнуть, что «отрицательное доказательство» является следствием опрометчивого подбора основы доказательства. Оно, собственно, доказывает непригодность алгоритмического метода для решения 10. проблемы. Поиск источников входной информации «общего алгоритма» – мог навести на поиск «общего метода».

Решение 10. проблемы требует достоверной основы и выполнения достаточных условий! Этим требованиям отрицательное доказательство не отвечает! Не существует доказательства отсутствия в диофантова уравнениях свойств, пригодных для представления «общего метода»! Чтобы «общий метод» существовал, полиномиальные диофантова уравнения должны подчиняться какой-то общей закономерности.

Уравнения имеют необходимое общее свойство для получения «общего метода». Им – ввиду поиска целочисленных решений – является однозначное разложение на простые множители натуральных значений одночленов и многочленов по сторонам уравнений, независимо от неявного представления натуральных значений. Следовательно, общий метод исходит из основной теоремы арифметики. Множество решений подчинено множеству разрешающих формул, значит – основной теореме. Это даёт инвариантность «общего метода» к полиномиальным диофантова уравнениям, по условиям Гильберта!

«Общий метод» воплощён в – детерминированном основной теоремой арифметики – составлении
бесконечного множества разрешающих формул!

Диофантова уравнения – исходящие из них разрешающие формулы – по необходимости содержат информацию о разрешимости. В общем случае она доступна в комплексной системе. Поэтому под вопросом стоит не «общий метод» – вытекающий из основной теоремы – а умение извлекать информацию из комплексных разрешающих формул.

С уважением: Sándor