Площадь хитрой фигуры

[oleg-oleg]

Возникли трудности с составлением интеграла для вычисления площади, ограниченной вот такой штукой:

$\left(\left(\dfrac{x}{a}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\dfrac{y}{b}\right)^{\frac{2}{3}\right)\right)^6=\dfrac{x^2}{n^2}+\dfrac{y^2}{k^2}$

Есть идея вот так параметризовать:

$\begin{cases} x=ar^3\cos^3\varphi \\ y=br^3\cos^3\varphi \\ \end{cases}$

Хорошая ли это идея? Будет ли ограничения на угол $\varphi$ или он будет меняться в пределах $[0;2\pi)$

[ИСН]

Вы свою параметризацию в своё уравнение подставить пробовали?

-- Пн, 2013-05-13, 15:59 --

(что там синус, я понял. всё равно.)

[oveka]

Может менять в пределах $[0;\pi/2]$ и интеграл множить на 4.

[provincialka]

А зачем $r$ в третью степень возводить?

[ИСН]

Чтобы он потом стал в двенадцатой. "Не надо лучше - надо, чтобы вы замучались".

[Алексей К.]

И возводить не надо, и назвать стоит по-другому: чтобы не пудрило мозги сходством с полярным радиусом, коим это $r$ не является.
Типа $x(t)=a\,f(t)\cos^3t,\quad y(t)=b\,f(t)\sin^3t.$

oleg-oleg в сообщении #723218 писал(а):

Хорошая ли это идея?

Теперь подставляем в уравнение кривой, находим варианты для $f(t)$ и убеждаемся, что идея нехорошая: она даже точку $(x,y)=(0,0)$ не реализует.

-- 13 май 2013, 19:11:08 --

А с другой стороны --- не является ли (0,0) особой точкой типа забыл, как точно называется, что-то вроде "точка одиночества"? И тогда, возможно, номер пройдёт, только интегрировать замучаемся.

[provincialka]

Алексей К. в сообщении #723333 писал(а):

А с другой стороны --- не является ли (0,0) особой точкой типа забыл, как точно называется, что-то вроде "точка одиночества"? И тогда, возможно, номер пройдёт, только интегрировать замучаемся.

Изолированной точкой. Да, является. И интеграл совсем неплохой, я смотрела.

[oleg-oleg]

$\left(\left(\dfrac{x}{a}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\dfrac{y}{b}\right)^{\frac{2}{3}\right)\right)^6=\dfrac{x^2}{n^2}+\dfrac{y^2}{k^2}$

Хорошо, напишу как вы предлагали!

$\begin{cases} x=ar\cos^3\varphi \\ y=br\cos^3\varphi \\ \end{cases}$

$|J|=3abr\cos^2\varphi\sin^2\varphi$

$r^4=\dfrac{a^2}{n^2}\cdot r^2\cos^6\varphi+\dfrac{b^2}{k^2}\cdot r^2\sin^6\varphi$

$r=\sqrt{\dfrac{a^2}{n^2}\cdot \cos^6\varphi+\dfrac{b^2}{k^2}\cdot \sin^6\varphi}$

$V=12ab\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{\frac{a^2}{n^2}\cdot \cos^6\varphi+\frac{b^2}{k^2}\cdot \sin^6\varphi}}r\cos^2\varphi\sin^2\varphi dr=$

$=6ab\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left({\dfrac{a^2}{n^2}\cdot \cos^6\varphi+\dfrac{b^2}{k^2}\cdot \sin^6\varphi}\cos^2\varphi\sin^2\varphi \right)d\varphi$

Привильно?

[provincialka]

Скобки не проставлены.
Интегралы от четных степеней синуса/косинуса можно считать либо рекуррентно, либо через $\Gamma$-функцию

[oleg-oleg]

provincialka в сообщении #723424 писал(а):

Скобки не проставлены.
Интегралы от четных степеней синуса/косинуса можно считать либо рекуррентно, либо через $\Gamma$-функцию

Ок, спасибо, ясно!

[oleg-oleg]

Получился такой ответ, спасибо, что помогли разобраться! $V=\dfrac{21a^3b^3}{256}\left(\dfrac{x^2}{n^2}+\dfrac{y^2}{k^2}\right)$

[ИСН]

Что такое x и y?

[oleg-oleg]

ИСН в сообщении #723635 писал(а):

:shock: Что такое x и y?

Ой, копируя скобку, забыл стереть!!! Имел ввиду $V=\dfrac{21a^3b^3}{256}\left(\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{k^2}\right)$

[provincialka]

oleg-oleg в сообщении #723396 писал(а):

$\left(\left(\dfrac{x}{a}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\dfrac{y}{b}\right)^{\frac{2}{3}}\right)^6=\dfrac{x^2}{n^2}+\dfrac{y^2}{k^2}$

$V=6ab\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left({\dfrac{a^2}{n^2}\cdot \cos^6\varphi+\dfrac{b^2}{k^2}\cdot \sin^6\varphi}\right)\cos^2\varphi\sin^2\varphi d\varphi$

Я поправила скобку. Дальше получаем

$$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left({\dfrac{a^2}{n^2}\cdot \cos^6\varphi+\dfrac{b^2}{k^2}\cdot \sin^6\varphi}\right)\cos^2\varphi\sin^2\varphi d\varphi =\dfrac{a^2}{n^2}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^8\varphi\sin^2\varphi d\varphi +\dfrac{b^2}{k^2}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\varphi\sin^8\varphi d\varphi=$$

$$ = \left(\frac{a^2}{n^2}+\frac{b^2}{k^2}\right)I$$

так как оба последних интеграла одинаковы. Их сумма равна $2I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos^6\varphi+\sin^6\varphi \right)\cos^2\varphi\sin^2\varphi d\varphi$
Выражение в скобках можно упростить, если возвести в куб основное триг. тождество. Тогда интеграл можно посчитать последовательным понижением степени. Но можно и через B-функцию.

(Оффтоп)

почему среди символов нет прописной $\beta$?

[AKM]

(прописная бэта)

provincialka в сообщении #723757 писал(а):

почему среди символов нет прописной $\beta$?

Сам с удивлением обнаружил, что это требует подключения дополнительных пакетов (пока не выяснил, каких). Есть однако, те греческие буквы, что отличаются по начертанию от латинских. А подключение дополнительных пакетов в форумный движок требует осторожности.

Используемая преамбула.