Топология группы рациональных чисел

[AlexDem]

Тут вот наткнулся на следующее Упражнение 2:

Цитата:

Показать, что аддитивная группа $Q$ рациональных чисел с топологией, индуцированной топологией вещественной прямой, не допускает структуры группы Ли.

По-моему, ответ на него такой, что не существует гомеоморфного отображения окрестности $U$ единицы на открытое множество в $R^n$ в силу их неравномощности.

А какие ещё могут быть отличия топологии "рациональной прямой" от топологии вещественной прямой (на первый взгляд, окрестности определяются точно так же)? И что там будет с пределами? Судя по вот этому определению множество $Q$ является полем, а значит никакие операции сложения и умножения не должны выводить за рамки группы, значит ли это, что все сходящиеся последовательности рациональных чисел будут иметь предел (в том смысле, что не получим ли мы на бесконечных последовательностях иррациональные числа)?

[Nord]

AlexDem писал(а):

...является полем, а значит никакие операции сложения и умножения не должны выводить за рамки группы, значит ли это, что все сходящиеся последовательности рациональных чисел будут иметь предел (в том смысле, что не получим ли мы на бесконечных последовательностях иррациональные числа)?

Нет, не значит. Последовательность десятичных представлений числа \sqrt 2 является, вне всякого сомнения последовательностью рациональных числел, однако имеющая своим пределом иррациональное число.

[AlexDem]

Nord писал(а):

Нет, не значит.

Но ведь это не свойство предельного перехода как такового? Потому что вроде можно придумать такие группы, в которых предельный переход не разрушает структуру группы (ну, например, группа истинных утверждений по отношению к логическому "&" и предельный переход в доказательствах по индукции, или та же вещественная прямая).

Совсем немного о пределах есть в статье Гликлих "О понятиях топологического пространства". Кое-что удалось найти в книге Бурбаки "Общая топология. Основные структуры" (пределы фильтров, как утверждает Википедия - понятия более общего, чем последовательности). С Бурбаки пока не разбирался, может кто сталкивался - насколько хорошее там изложение, и нет ли других книг в этом же направлении (что-то мне в поиске больше ничего не попалось).

[Someone]

AlexDem писал(а):

Но ведь это не свойство предельного перехода как такового? Потому что вроде можно придумать такие группы, в которых предельный переход не разрушает структуру группы

Такие группы называются полными. Пополнение группы рациональных чисел по стандартной метрике даёт группу действительных чисел.

AlexDem писал(а):

(ну, например, группа истинных утверждений по отношению к логическому "&" и предельный переход в доказательствах по индукции, или та же вещественная прямая).

Индукция - это не предельный переход, и истинные утверждения никакой группы не образуют.

AlexDem писал(а):

Совсем немного о пределах есть в статье Гликлих "О понятиях топологического пространства". Кое-что удалось найти в книге Бурбаки "Общая топология. Основные структуры" (пределы фильтров, как утверждает Википедия - понятия более общего, чем последовательности). С Бурбаки пока не разбирался, может кто сталкивался - насколько хорошее там изложение, и нет ли других книг в этом же направлении (что-то мне в поиске больше ничего не попалось).

Изучать топологию по книге Бурбаки - это ужас. Как тополог Вам говорю. Лучше возьмите Дж.Келли, Общая топология.

[AlexDem]

Someone писал(а):

Такие группы называются полными. Пополнение группы рациональных чисел по стандартной метрике даёт группу действительных чисел.

А английский эквивалент полной группы это "complete group"?

Someone писал(а):

Индукция - это не предельный переход, и истинные утверждения никакой группы не образуют.

Что-то не смог уловить разницу - ведь последовательность в индукции есть... Но не суть, это первое, что пришло в голову.

Someone писал(а):

Изучать топологию по книге Бурбаки - это ужас. Как тополог Вам говорю. Лучше возьмите Дж.Келли, Общая топология.

Спасибо. Да, про Бурбаки я такое слышал, почему и спросил . Книга Келли у меня есть, просто я ожидал более широкого изложения, поэтому проскочил раздел...

[AlexDem]

AlexDem писал(а):

А английский эквивалент полной группы это "complete group"?

Хм, нет, "complete group" - это "совершенная группа".

[Someone]

AlexDem писал(а):

Someone писал(а):

Индукция - это не предельный переход, и истинные утверждения никакой группы не образуют.

Что-то не смог уловить разницу - ведь последовательность в индукции есть... Но не суть, это первое, что пришло в голову.

Формально там есть последовательность высказываний $P(k)$, $k\in\mathbb N$, но доказывается не "предельное" высказывание $P(\infty)$ (такого понятия, кажется, вообще нет), а высказывание $\forall k P(k)$. Кроме того, никакой группы высказывания не образуют, поскольку $P\& P=P$.

AlexDem писал(а):

А английский эквивалент полной группы это "complete group"?

Я боюсь, что термин "complete" может использоваться в самых разных смыслах. Но если написано "topologically complete", то это, наверное, полнота в топологическом смысле.

Пополнения групп рассматриваются в книге ван дер Вардена "Алгебра". Там используются фильтры, но их, видимо, можно заменить направленностями (другое название - обобщённые последовательности), которые Вы можете найти в книге Келли (я именно поэтому Вам эту книгу и рекомендовал), и рассуждать так же, как для "слабого пополнения" с помощью обычных последовательностей.

[AlexDem]

Someone писал(а):

доказывается не "предельное" высказывание $P(\infty)$ (такого понятия, кажется, вообще нет), а высказывание $\forall k P(k)$.

Да, Вы правы, индукция - не предельный переход. Аксиома Пеано:

Цитата:

Если какое-либо предложение доказано для $1$ (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа $n$, вытекает, что оно верно для следующего за $n$ натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Для любого натурального $n$, которое мы ни возьмём, верно, что член последовательности десятичных представлений числа $\sqrt 2$, которую привёл в пример Nord, будет рациональным числом. Было бы максимальное натуральное число, по индукции, похоже, можно было бы "доказать", что группа $<Q, *>$ - полна.

Насчёт группы - тоже согласен. Я рассматривал такую алгебру: $P(n) = P(1) \& P(n - 1)$, то есть утверждение справедливо для $n$, если справедлива база индукции и это утверждение справедливо для $n - 1$.

Someone писал(а):

Пополнения групп рассматриваются в книге ван дер Вардена "Алгебра". Там используются фильтры, но их, видимо, можно заменить направленностями (другое название - обобщённые последовательности), которые Вы можете найти в книге Келли (я именно поэтому Вам эту книгу и рекомендовал), и рассуждать так же, как для "слабого пополнения" с помощью обычных последовательностей.

Ага, книгу нашёл, большое спасибо!