Сила натяжения нити: mgcos a или mg/cos a

[warlock66613]

nestoronij в сообщении #722629 писал(а):

В n- мерном пространстве тело может иметь n независимых ускорений

Нет, не может. Ускорение тела - это, по-определению, $\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}$. Оно одно (если $\mathbf{v}$ - также одно, о чём дальше).

nestoronij в сообщении #722629 писал(а):

Теннисный мяч - сколько имеет скоростей?

Одну. По определению, скорость - это $\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}$.

Те же тангенциальное и нормальное ускорения - это не ускорения, это составные термины, которые нельзя делить на слова. Если вы желаете использовать необщепринятую терминологию, вы конечно можете, но будьте готовы, что вас не поймут без разъяснений. Например, вашу фразу "В n- мерном пространстве тело может иметь n независимых ускорений" я понимаю так, что ускорение может быть разложено на $n$ линейно независимых составляющих, но я совершенно не уверен что я правильно вас понимаю.

[warlock66613]

Дополнение к

warlock66613 в сообщении #722618 писал(а):

Ну и если $\mathbf{a}=\mathbf{g}+\mathbf{a}_n$ (я так понял, вы это имеете в виду), то $\mathbf{a}_n$ - это не центростремительное ускорение (то есть не то, что обычно обозначают $\mathbf{a}_n$), потому что $\mathbf{g}$ также имеет ненулевую нормальную составляющую.

Отсюда также следует, что $a_y = -g + a_{ny} \neq -g$

[Seergey]

nestoronij в сообщении #722629 писал(а):

$a_n = Tsina$
При увеличении ускорения должна увеличиваться T, как правильно отмечено, так и как следствие этого, возрастать угол а, следовательно радиус вращения увеличивается.

Ускорение возрастет только по модулю, но его вектор будет оставаться в плоскости вращения, горизонтальной к земле? Точнее оно повернется в плоскости вращения. Как только ускорение станет равным 0 (равномерное движение) так сразу ускорение будет направлено строго к центру.

[nestoronij]

Мы, по моему, расходимся в терминологии.
$ \vec a = a_x \vec e_x + a_y \vec e_y + a_z \vec e_z$;
$ a_x, a_y, a_z$ я называю проекциями вектора $ \vec a$ на оси, или независимыми ускорениями по каждой оси. Разве они не характеризуют изменение скоростей $v_x, v_y, v_z$?

warlock66613 в сообщении #722673 писал(а):

Те же тангенциальное и нормальное ускорения - это не ускорения, это составные термины, которые нельзя делить на слова.

Вы отказываетесь от общепринятой терминологии? В любом томе физики, задачнике найдёте эти понятия и связанные с ними полное ускорение :$ a = \sqrt {a_n^2 + a_t^2} $. Аналогично можно говорить и о скорости. Я не даром напомнил о мяче. Его результирующее движение сумма двух совершенно разных движений - равномерного и равнопеременного. И в рамках классической механики вводятся понятия для этого случая горизонтальная и вертикальная скорость - как составляющие результирующей скорости. Называйте их как хотите, но это - скорости.
Для маятника $ a_n$ именно центростремительное или нормальное ускорение, направленное вдоль нити к центру вращения, точки крепления маятника. Вектор $ \vec g$ всегда по вертикале вниз. В крайних положениях $ a_n = 0$. При движении по дуге (части окружности) появляется $a_n$ которое при прохождении положения равновесия максимально и сила натяжения тоже. Есть даже такие задачи в которых определяют разрыв нити, т.к. может случиться $ |a_n| > |g|$.
Полное ускорение маятника $\vec a = \vec a_n + \vec g$.

[Seergey]

nestoronij в сообщении #722719 писал(а):

Полное ускорение маятника $\vec a = \vec a_n + \vec g$.

В крайнем положении нет центростремительного ускорения, поэтому полное ускорение $ a= \frac{mgsin a}{m} = gsin a $

В положении равновесия нет тангенциального ускорения, как уже обсуждали, и полное ускорение: $ a=\frac{v^2}{R} $
Из сохранения энергии:
$ \frac{mv^2}{2}=mgR(1-cos a) => v^2=2gR(sin \frac{a}{2})^2 $ (1)
(формула двойного угла для косинуса $ cos a=(cos \frac{a}{2})^2 - (sin \frac{a}{2})^2 $)


Подставим $ v^2 $ из (1)
$ a=2g(sin \frac{a}{2})^2 $

В положении отличном от равновесия и крайнего вычисляются эти два ускорения. Далее по приведенной здесь формуле (корень из квадрата нормального и тг. ускорения) можно найти полное ускорение, только нужно учесть, что высота будет меньше чем $ R(1-cos a) $ (смотря какой a в данный момент), следовательно и скорость будет меньше. Нормальное тоже будет меньше чем $ gsin a $ в крайнем положении на "тот же угол", что и тангенциальное.

[warlock66613]

nestoronij в сообщении #722719 писал(а):

Для маятника $ a_n$ именно центростремительное или нормальное ускорение

nestoronij в сообщении #722719 писал(а):

Полное ускорение маятника $\vec a = \vec a_n + \vec g$.

Вот эти утверждения противоречат друг другу. Смотрите. Спроецируем это равенство на красную ось $Oy'$ (которая направлена вдоль подвеса, я добавил штрих, чтобы не путать с синими осями). Получим

$$a'_y = a_n + g'_y$$

.
Но $a'_y$ - это и есть нормальное ускорение по определению, т. к. ось $Oy'$ направлена по радиусу к центру окружности, по которой движется тело. Поэтому имеем

$$a_n = a_n + g'_y$$

Отсюда

$$g'_y = 0$$

Но из рисунка очевидно, что

$$g'_y = -g \cos \alpha \neq 0$$

Получили противоречие.

-- 12.05.2013, 22:25 --

То же самое, но короче. Если $\vec a = \vec a_n + \vec g$, то, поскольку $\vec a = \vec a_n + \vec a_{\tau}$ ($\vec a_{\tau}$ - тангенциальное ускорение), получаем $\vec g = \vec a_{\tau}$, то есть $\vec g$ направлено по касательной к окружности, что, очевидно, бред.

[DimaM]

nestoronij в сообщении #722719 писал(а):

Полное ускорение маятника $\vec a = \vec a_n + \vec g$.

Полное ускорение маятника ${\bf a}={\bf a}_n+{\bf a}_t$ (нормальное плюс тангенциальное).

[nestoronij]

warlock66613 в сообщении #723019 писал(а):

Спроецируем это равенство на красную ось $Oy'$ (которая направлена вдоль подвеса, ....

У ТС ось OY имеет другое направление, но это не суть. А суть в том, что Вы складываете или вычитаете проекции или вектора?

DimaM в сообщении #723111 писал(а):

nestoronij в сообщении #722719 писал(а):

Полное ускорение маятника $\vec a = \vec a_n + \vec g$.

Полное ускорение маятника ${\bf a}={\bf a}_n+{\bf a}_t$ (нормальное плюс тангенциальное).

На маятник, совершающий колебания в вертикальной плоскости действую две силы: Сила тяжести постоянная и не меняющая направления и периодически возникающая центростремительная, направленная к центру вращения. Трение, упругость нити и т.п. не рассматриваем. Поэтому при колебательном процессе присутствуют два ускорения: g и $a_n$. Сумма этих ускорений будет будет полным ускорением, которое направленно по касательной к траектории движения маятника и которое называют тангенциальным. Но, мне кажется, что в мысли ${\bf a}={\bf a}_n+{\bf a}_t$ (я надеюсь, что это вектора!) есть некое ассоциативное сравнение с неравномерным движением точки (тела) по окружности, когда присутствует сила, направленная по касательной, изменяющая модуль линейной скорости. Тогда да, в этом случае есть две силы :тангенциальная и центростремительная и полное ускорение таким и будет. Но, в нашем случае такой силы, направленной по касательной нет. Излишне повторять, что ускорение - следствие действия силы, поэтому, что вы имели в виду, неясно. Определите силу при колебании маятника, действующую по касательной и вызывающую тангенциальное ускорение??

Из рис. легко сообразить как найти модуль полного ускорения маятника между крайними положениями. При крайних положениях v = 0 и $a_n = 0$ .

[DimaM]

nestoronij в сообщении #723178 писал(а):

Поэтому при колебательном процессе присутствуют два ускорения: g и $a_n$

Неверно. Никакого ускорения g там не присутствует. Кстати, у вас полное ускорение неправильно нарисовано - оно направлено вправо-вверх должно быть.

nestoronij в сообщении #723178 писал(а):

Определите силу при колебании маятника, действующую по касательной и вызывающую тангенциальное ускорение??

Сила тяжести, разумеется.

[nestoronij]

Сила тяжести по касательной? Изобразите её. Колебания маятника в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, но g нет?

[DimaM]

nestoronij в сообщении #723184 писал(а):

Сила тяжести по касательной? Изобразите её.

У вас на картинке стрелка вниз. Проекция на касательное направление вполне себе присутствует.

Цитата:

Колебания маятника в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, но g нет?

Сила $mg$, разумеется, есть. Ускорения $g$, естественно, нет.

Еще раз обращу внимание, что на вашей картинке полное ускорение нарисовано неверно.

[nestoronij]

DimaM в сообщении #723187 писал(а):

nestoronij в сообщении #723184 писал(а):

Сила тяжести по касательной? Изобразите её.

У вас на картинке стрелка вниз. Проекция на касательное направление вполне себе присутствует.

Цитата:

Колебания маятника в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, но g нет?

Сила $mg$, разумеется, есть. Ускорения $g$, естественно, нет.

Еще раз обращу внимание, что на вашей картинке полное ускорение нарисовано неверно.

Если можно сложите два вектора.

[nestoronij]

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #723187 писал(а):

Сила $mg$, разумеется, есть. Ускорения $g$, естественно, нет.

Этот перл показал своим студентам. О их реакции умалчиваю.

[ewert]

nestoronij в сообщении #723222 писал(а):

DimaM в сообщении #723187 писал(а):

Сила $mg$, разумеется, есть. Ускорения $g$, естественно, нет.

Этот перл показал своим студентам. О их реакции умалчиваю.

Ну если Вы их так учите -- так какой же реакции и ожидать? Каков поп, таков и приход.

$g$ -- это не ускорение как физическая величина. Это всего лишь напряжённость гравитационного поля, имеющая размерность ускорения. А будет ли она ускорением, физически наблюдаемым хоть в каком-то смысле -- зависит от задачи. В случае с маятником -- нет, не будет ни в каком смысле.

[DimaM]

nestoronij в сообщении #723194 писал(а):

Если можно сложите два вектора.

Что это за векторы?

-- 13.05.2013, 19:56 --

nestoronij в сообщении #723222 писал(а):

Этот перл показал своим студентам. О их реакции умалчиваю.

Зачем умалчиваете?
Надеюсь, студенты были удивлены, услышав от вас, что они падают с ускорением g?