рамка с диском

[Oleg Zubelevich]

Прямоугольная рамка может вращаться без трения вокруг оси $AB$, ее момент инерции относительно этой оси равен $J$. На рамке укреплен однородный диск массы $m$, плоскость диска и плоскость рамки перпендикулярны. Диск может без трения вращаться вокруг оси $DC$, которая проходит через его центр; момент инерции диска относительно этой оси равен $I$.

Предположим, что в начальный момент времени вся конструкция покоилась. Затем диск раскручивается (скажем маленький моторчик там где-то под ним укрепили) и вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ относительно рамки. Найти угловую скорость рамки.

[fizeg]

Что насчет a (расстояния от оси AB до оси DC)? Оно известно?

[Oleg Zubelevich]

да, конечно

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #723204 писал(а):

Затем диск раскручивается (скажем маленький моторчик там где-то под ним укрепили)

Уж не скрывайте - статор моторчика приклеен к рамке?

[fizeg]

Тогда обозначаем как $\vec{\omega_1}$ угловую скорость рамки, а $\vec{r}$ - радиус вектор из центра диска

Момент импульса диска относительно собственной оси $\hat{I}\vec{\omega}=\int dm(\vec{r})\vec{r}\times(\vec{r}\times\omega)$
Ось проходит сквозь центр диска, который однороден $\int dm(\vec{r}) \vec{r}=m\vec{r_D}=0$
Линейная скорость диска относительно оси нулевая $\int dm(\vec{r}) (\vec{r}\times\omega)=m\vec{v_D}=0$

Полный момент импульса
\begin{eqnarray*}&&\hat{J}\vec{\omega_1}+\int dm(\vec{r}) (\vec{a}+\vec{r})\times(\vec{a}\times\omega_1+\vec{r}\times\omega)=\\ &&=\hat{J}\vec{\omega_1}+\int dm(\vec{r})(\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{\omega_1}))+\int dm(\vec{r})(\vec{r}\times(\vec{a}\times\omega_1))+\int dm(\vec{r})(\vec{a}\times(\vec{r}\times\vec{\omega}))+\\ &&+\int dm(\vec{r})(\vec{r}\times(\vec{r}\times\vec{\omega}))=\\ &&=\hat{J}\vec{\omega_1}+m\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{\omega_1})+m\vec{r_D}\times(\vec{a}\times\vec{\omega_1})+m\vec{a}\times\vec{v_D}+\hat{I}\vec{\omega}=\\ &&=\hat{J}\vec{\omega_1}+m\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{\omega_1})+\hat{I}\vec{\omega}\end{eqnarray*}

По закону сохранения момента импульса он равен нулю. Следовательно $\omega_1=-\frac{I\omega}{J+ma^2}$

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #723225 писал(а):

Следовательно $\omega_1=-\frac{I\omega}{J+ma^2}$

не-а

[fizeg]

Тьфу ты черт $\omega_1=\frac{I\omega}{ma^2-J}$

[nikvic]

fizeg в сообщении #723245 писал(а):

Тьфу ты черт $\omega_1=\frac{I\omega}{ma^2-J}$

А на ноль делить можно?

[fizeg]

Впрочем я знак попутал еще с $r\times\omega$

-- 13.05.2013, 16:45 --

Но тогда знаки друг друга съедаем и все равно получаем первоначальный ответ. Так что если он правда неправильный, где-то я налажал в другом месте

-- 13.05.2013, 17:13 --

Впрочем я понял где ошибка
В самом начале должно в качестве скорости точки с радиус-вектором $vec{r}$ стоять $\vec{\omega_1}\times(\vec{a}+\vec{r})+\vec{\omega}\times\vec{r}$

-- 13.05.2013, 17:17 --

Так что получим $\omega_1=-\frac{I\omega}{J+I+ma^2}$

[Oleg Zubelevich]

угу

[ewert]

А зачем столько крестиков, когда это элементарная комбинация вполне известных фактов?

Момент вращательного движения диска относительно центра масс: $I(\omega-\omega_1)$

Момент поступательного движения диска: $mr_cv_c=ma(-a\omega_1)=-ma^2\omega_1$

Момент рамки: $-J\omega_1$

Полный момент: $I\omega-(I+ma^2+J)\omega_1$

[nikvic]

ewert в сообщении #723598 писал(а):

Момент вращательного движения диска относительно центра масс: $I(\omega-\omega_1)$

Момент поступательного движения диска: $mr_cv_c=ma(-a\omega_1)=-ma^2\omega_1$

В задаче используются абсолютные угловые скорости, и тогда первая формула неверна. Внешними силами раскрутили диск, затем придали ему "поступательную" скорость.

[ewert]

nikvic в сообщении #724078 писал(а):

Внешними силами раскрутили диск,

Внутренними (для системы рамка-диск).

nikvic в сообщении #724078 писал(а):

В задаче используются абсолютные угловые скорости,

Именно. Разность омег -- это и есть абсолютная скорость диска.

nikvic в сообщении #724078 писал(а):

первая формула неверна.

Что конкретно неверно?

[nikvic]

ewert в сообщении #724082 писал(а):

nikvic в сообщении #724078 писал(а):

Внешними силами раскрутили диск,

Внутренними (для системы рамка-диск).

nikvic в сообщении #724078 писал(а):

В задаче используются абсолютные угловые скорости,

Именно. Разность омег -- это и есть абсолютная скорость диска.

nikvic в сообщении #724078 писал(а):

первая формула неверна.

Что конкретно неверно?

Для подсчёта моментов внутренние/внешние несущественно - только для приравнивания их суммы нулю.

Посмотрите условие задачи. Для диска сообщается его угловая скорость, его, небось, на телефон-ТВ снимали и выяснили, сколько оборотов в секунду делает нарисованная на нём стрелочка относительно стола

[ewert]

nikvic в сообщении #724093 писал(а):

выяснили, сколько оборотов в секунду делает нарисованная на нём стрелочка относительно стола

А что на этот счёт сказано в условии?...