Площади фигур

[Otta]

ewert в сообщении #722908 писал(а):

Где-то есть; какая разница, где?...

Где, действительно нет разницы. Важно, есть ли.
Дело в том, что меня не убеждает возведение в квадрат уравнений кривых, так как, вообще говоря, оно меняет их порядок.

provincialka в сообщении #722922 писал(а):

Моя замена дает поворот (плюс подобие)

Это очевидно. Поворот+растяжение. И что фокус на этой прямой, тоже понятно.
Я нашла точку, которая единственный претендент на фокус для кривой $\sqrt x+\sqrt y =4$. Это точка $(\sqrt 2, \sqrt 2)$. Осталось показать ее "фокусность". Да, директриса, конечно, $x+y=0$.

[ewert]

Otta в сообщении #722944 писал(а):

меня не убеждает возведение в квадрат уравнений кривых, так как, вообще говоря, оно меняет их порядок.

"Порядок" -- термин в известной мере лирический. Какое значение имеет форма записи уравнения, полученного после эквивалентного (с точностью до оговорок) преобразования?

Otta в сообщении #722944 писал(а):

единственный претендент на фокус для кривой $\sqrt x+\sqrt y =4$. Это точка $(\sqrt 2, \sqrt 2)$.

Ну уж это-то точно не фокус.

Otta в сообщении #722944 писал(а):

директриса, конечно, $x+y=0$.

Если Вам известна директриса, то (с учётом симметрии) автоматически известен и фокус.

[Otta]

ewert в сообщении #722949 писал(а):

Ну уж это-то точно не фокус.

Извините, опечаталась. Причем сперва ведь правильно набрала))... (2,2) конечно.

-- 12.05.2013, 21:27 --

ewert в сообщении #722949 писал(а):

Если Вам известна директриса, то (с учётом симметрии) автоматически известен и фокус.

Нет, у меня все было наоборот.

[provincialka]

Даже если не обращать внимание на порядок. Возведение в квадрат порождат следстие из уравнения. Если точка лежит на исходном образе, она же принадлежит и новому, "квадратному". Поэтому наша кривая - часть параболы.

[ewert]

Otta в сообщении #722952 писал(а):

... (2,2) конечно.

Даже и это очевидно неверно, если

Otta в сообщении #722944 писал(а):

для кривой $\sqrt x+\sqrt y =4$.

Но это уже, скорее всего, просто очепятка.

[Otta]

ewert в сообщении #723014 писал(а):

Даже и это очевидно неверно, если

Не. Это уже неочевидно. Мне, по крайней мере. Я рассуждала просто: если это парабола, то свет, пришедший извне параллельно ее оси в точку (4, 0), преломившись, попадет в фокус. Но извне он идет под углом 45 градусов к каждой оси координат, под тем же углом и выйдет, и с осью кривой пересечется в точке (2,2) как раз.
Расскажите, почему Вам очевидно неверно, пожалуйста.

[ewert]

Otta в сообщении #723025 писал(а):

почему Вам очевидно неверно,

Потому, что вершина той параболы лежит, очевидно, в точке (4;4). А Ваши точки, очевидно, ближе к началу координат, чем вершина.

[Otta]

ewert в сообщении #723027 писал(а):

Потому, что вершина той параболы лежит, очевидно, в точке (4;4).

О! Спасибо. Конечно, опечатка. Но в другом месте.
В уравнении сумма корней равна двум. Пойду и утоплюсь.

[ewert]

Otta в сообщении #723030 писал(а):

В уравнении сумма корней равна двум

Вот тогда да (вроде как).

[oleg-oleg]

Спасибо, что помогли разобраться, получились ответы:

1) Найдите площадь, ограниченную $\sqrt{\dfrac{x}{a}}+\sqrt{\dfrac{y}{b}}=1\;\;;\;\;\sqrt{\dfrac{x}{a}}+\sqrt{\dfrac{y}{b}}=2\;;\;\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\;\;\;\;;\;\;\;\dfrac{4x}{a}=\dfrac{y}{b}\;\;;\;\;a>0,b>0$

$S=2,52ab$

2) Найдите площадь, ограниченную $\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)^2=\dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}\;\;\;\;\;y>0$

$S=\dfrac{ab}{12}$

[provincialka]

В первом примере у меня получилось $\frac{65ab}{108}$. Даже вся площадь между отрезками парабол и осями равна примерно $2,29ab$.

[oleg-oleg]

provincialka в сообщении #723660 писал(а):

В первом примере у меня получилось $\frac{65ab}{108}$. Даже вся площадь между отрезками парабол и осями равна примерно $2,29ab$.

1) Найдите площадь, ограниченную $\sqrt{\dfrac{x}{a}}+\sqrt{\dfrac{y}{b}}=1\;\;;\;\;\sqrt{\dfrac{x}{a}}+\sqrt{\dfrac{y}{b}}=2\;;\;\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\;\;\;\;;\;\;\;\dfrac{4x}{a}=\dfrac{y}{b}\;\;;\;\;a>0,b>0$

$\sqrt{\frac{x}a}=u^2,\ \ \sqrt{\frac{y}b}=v^2$

$u^2+v^2=1\;\;\;\;\;\;\;u^2+v^2=2\;\;\;\;\;u^4=v^4\;\;\;\;\;4u^4=v^4$

Якобиан $J_1=16abu^3v^3$

Переходим к полярным $J_2=r$.

Пересчитал еще раз этот интеграл

$S=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\varphi_0}d\varphi \displaystyle\int_{1}^{2}16abr^7\cos^3\varphi\sin^3\varphi dr$

$\varphi_0=\arctg(\sqrt 2)$

Получилось $S=16,83ab$

Проверил на вольфраме, сходится

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 2%29%7D%5D

[provincialka]

Чисто геометрически, "на глаз" мой ответ похож на истину, а ваш - нет. Я делала другую замену, например:
$\sqrt{x\over a}=u,\sqrt{y\over b}=v $, тогда $1\le u+v\le2, 1\le {v\over u}\le 2$ . Якобиан этой замены равен $4abuv$.

Далее полагаем $u+v=z, v/u=t$. Тогда $u={z\over 1+t}, v={zt\over 1+t}$. Якобиан этого преобразования $-{z\over(t+1)^2}$.

Итак, интеграл приобретает вид $4ab\int_1^2z^3dz\int_1^2{tdt\over(t+1)^4}$

Последний интеграл берется с помощью разложения ${tdt\over(t+1)^4}={1\over(t+1)^3}-{1\over(t+1)^4}$

И никаких синусов не нужно. Я проверяла этот ответ еще двумя способами.

[ewert]

oleg-oleg в сообщении #723731 писал(а):

Получилось $S=16,83ab$

Это уж как-то совсем перебор. Одна из причин -- то, что у Вас верхний предел для радиуса неверен, однако всего это не объясняет.

Я тоже голосую за $\dfrac{65}{108}$.

[oleg-oleg]

ewert в сообщении #723777 писал(а):

Это уж как-то совсем перебор. Одна из причин -- то, что у Вас верхний предел для радиуса неверен, однако всего это не объясняет.

Я тоже голосую за $\dfrac{65}{108}$.

А почему не походит такой интеграл???

$S=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\varphi_0}d\varphi \displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}16abr^7\cos^3\varphi\sin^3\varphi dr$