Груз на нити

[Omega]

Помогите пожалуйста решить следующую задачу:
Один конец однородного стержня массой $M$ и длиной$ L$ опирается на шарнир $O$, а другой — прикреплён к лёгкой нити, перекинутой через блок (см. рис.). К свободному концу нити привязан груз массой $m$. Расстояние от стержня до блока равно $l$.Определите период малых колебаний системы стержень-груз.


Предположим, что стержень отклонили влево на угол $\beta\,$, а нить при этом удлинится и отклониться также влево, но на угол $\alpha$ (все углы отсчитываются от вертикали).
Тогда выражения для потенциальной энергии стержня относительно шарнира есть:

$$U_{1}(\alpha)=\dfrac{MgL}{2} \cos{\alpha}$$

Груза - суммарное удлинение всей нити, что "ниже" блока плюс некоторая начальная высота груза над шарниром:

$$U_{2}(\alpha)=mg \left (\sqrt{(l+L(1-\cos{\alpha}))^{2}+(L\sin{\alpha})^{2}}-(L+l)+h_{0} \right) \Leftrightarrow$$

$$U_{2}(\alpha)=mg \left (\sqrt{\left (l+\dfrac{L\alpha^{2}}{2} \right)^{2}+L^{2}{\alpha}^{2}}-(L+l)+h_{0} \right)$$

Положим $U_{0}$ - полная потенциальная энергия системы стержень-груз, тогда,очевидно, что $U_{0}(\alpha)=U_{1}(\alpha)+U_{2}(\alpha)$ .
Вблизи положения равновесия ($\alpha \approx 0$) :

$$U(\Delta \alpha) = \dfrac{1}{2} \left (\left. \dfrac{d^{2} U}{d r^{2}} \right|_{r=0} \right) (\Delta \alpha)^{2}$$

Как вычислить эту вторую производную? Имею в виду то, чему здесь равно $r\,$ ? $L \alpha\,$ или же $(L+l) \alpha\,$ ? Каким образом необходимо рассуждать?
Всем заранее спасибо за помощь.

[ewert]

Omega в сообщении #722862 писал(а):

Имею в виду то, чему здесь равно $r\,$ ?

А что это такое и зачем это?...

Ни надо никаких производных, просто выпишите изменение потенциальной энергии в окрестности точки равновесия до второго порядка:

$\Delta U_1(\alpha)\sim-\dfrac{MgL}4\cdot\alpha^2,$

$\Delta U_2(\alpha)\sim mg\left(\sqrt{l^2+(lL+L^2)\alpha^2}-l\right)\sim mgl\left(\dfrac{L}l+\dfrac{L^2}{l^2}\right)\cdot\dfrac{\alpha^2}2.$

Кинетическую энергию грузика можно не учитывать -- она будет следующего порядка малости.

[Omega]

ewert в сообщении #722878 писал(а):

Omega в сообщении #722862 писал(а):

Имею в виду то, чему здесь равно $r\,$ ?

А что это такое и зачем это?...

Отклонение от положения равновесия по определению, только я вот не знаю как это "определение" тут применить.

ewert в сообщении #722878 писал(а):

$\Delta U_2(\alpha)\sim mg\left(\sqrt{l^2+(lL+L^2)\alpha^2}-l\right)\sim mgl\left(\dfrac{L}l+\dfrac{L^2}{l^2}\right)\cdot\dfrac{\alpha^2}2.$

Будьте добры, скажите, как именно Вы это получили?
Спасибо.

[ewert]

Omega в сообщении #722881 писал(а):

как именно Вы это получили?

Ну Вы же получили как-то альфу-квадрат из косинуса? Вот и я вытянул её из-под корня ровно так же -- по Тейлору. Ну или по соотв. замечательному пределу, если угодно.

[Omega]

Простите, я не совсем конкретно спросил. Я хотел узнать, что такое именно следующее:

ewert в сообщении #722878 писал(а):

$l^2+(lL+L^2)\alpha^2$

[ewert]

Результат раскрытия скобок под Вашим вторым корнем и отбрасывания члена четвёртого порядка.

[Omega]

Спасибо.
Выходит, ответ следующий:

$$E=\dfrac{ML^{2}}{3} \dfrac{\dot{\alpha}^{2}}{2}+\left (m\left (1+\dfrac{L}{l} \right) -\dfrac{M}{2} \right) Lg \cdot\dfrac{\alpha^{2}}{2} $$

$$T=2\pi \sqrt{\dfrac{2MLl}{3g \left (2m(L+l)-Ml \right)}}$$

Верно?
И ещё один вопрос: почему члены именно степеней выше двойки (а не выше) считаются пренебрежимо малыми по сравнению с остальными?

[ewert]

Вроде бы, но в арифметику вникать лень.