Просто интеграл...

[Skorostrel]

$\int\limits_0^\pi\frac{\sin\ nx}{\sin\ x}dx$
в задачнике Кудрявцева есть такой интеграл. Совершенно не понимаю как его решить, ведь от разных целых $n$ сам интеграл будет принимать различные значения?

[Shtorm]

Skorostrel, очевидно, что в ответе должна получиться зависимость от $n$.

[gris]

А можно и попробовать.

$$n=1:\quad \int\limits_0^\pi\frac{\sin x}{\sin x}\,dx=\int\limits_0^\pi 1\,dx=\pi$$

$$n=2:\quad \int\limits_0^\pi\frac{\sin 2x}{\sin x}\,dx=\int\limits_0^\pi 2\cos x\,dx=0$$

[Sonic86]

Если нет других идей, можете попытаться воспользоваться формулой Муавра для $\sin nx$.

[Shtorm]

gris, вот вся интрига и пропала ибо потом эти ответы будут ч....
Но это надо доказать.

[gris]

Я просто попробовал. Я всегда подставляю вместо $n$ первые 10-15 значений и чаще всего оказывается, что нужно было сдвинуть что-то или воспользоваться чётностью .

[Shtorm]

А можно вот этой формулой воспользоваться:

Shtorm в сообщении #703755 писал(а):

ex-math, большое спасибо. Обнаружил эту формулу:

$$\sin(nx) = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\sin(x+k \pi/n)$$

в справочнике И.С. Градштейн, И.М. Рыжик "Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений" Издание 4-е, Москва 1963 г. на странице 47

[Sonic86]

(Оффтоп)

gris в сообщении #722750 писал(а):

Я всегда подставляю вместо $n$ первые 10-15 значений

А я 2-3, обычно дальше 5 не ухожу.

[ewert]

Ясно, что надо по индукции (если без экспонент). А поскольку из соображений симметрии следует, что при чётных номерах будет ноль -- ясно, что индукцию надо проводить через 2, т.е. выражать $I_{2k+1}$ через $I_{2k-1}$. Ну если поставить задачу именно в таком виде, то дальше всё уже получится на автомате.

Да, ещё полезно в силу чётности заменить интеграл по полупериоду на интеграл по всему периоду, это сразу снимает некоторые технические нюансы.

[nnosipov]

Можно заметить, что $\sin{(n+1)x}/\sin{x}=U_n(\cos{x})$ --- многочлен Чебышёва 2-го рода, и воспользоваться тождеством $U_n(\cos{x})-U_{n-2}(\cos{x})=2T_n(\cos{x})$, где $T_n(\cos{x})=\cos{(nx)}$ --- многочлен Чебышёва 1-го рода.

Shtorm в сообщении #722751 писал(а):

А можно вот этой формулой воспользоваться:

Как?

[Shtorm]

nnosipov, для упрощения интегрирования при различных $n$, по сравнению с интегрированием, используя формулу Муавра.

[nnosipov]

Shtorm в сообщении #722813 писал(а):

для упрощения интегрирования при различных $n$

Видимо, для конкретных значений $n$. Но нужно-то для произвольного $n$.

[ewert]

Ну вот самый простой способ доказательства (при условии, конечно, что результат уже известен):

$$I_{n+1}-I_{n-1}=\int\limits_0^{\pi}\dfrac{\sin(n+1)x-\sin(n-1)x}{\sin x}\,dx=\int\limits_0^{\pi}2\cos nx\,dx=0\ \ (\forall n=1,2,\ldots)$$

[Shtorm]

nnosipov, что, если после применение формулы для конкретного $n$, выносить за знак интеграла косинусы и синусы, зависящие только от $n$ и таким образом по индукции получить зависимость от $n$.

[provincialka]

Как это синусы и косинусы могут зависеть только от $n$? А $x$ куда денется?