Задача на объем.

[oleg-oleg]

1) Найдите объем, ограниченный $(x^2+y^2)^2+z^4=a^3(x - y)$

Есть идея перейти к сферическим координатам:

$\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\varphi, \\ y=r\sin\theta\sin\varphi, \\ z=r\cos\theta. \end{cases}$

$J=r^2\sin\theta$

Получаем

$r^4+r^4\cos^4\theta=a^3r\sin\theta(\cos\varphi-\sin\varphi)}}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{\sin\theta(\cos\varphi-\sin\varphi)}{1+\cos^4\theta}}$

$V=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\varphi \displaystyle\int_{0}^{\pi}d\theta \displaystyle\int_{0}^{\sqrt[3]{\frac{\sin\theta(\cos\varphi-\sin\varphi)}{1+\cos^4\theta}}}r^2\sin\theta dr$

Верно?

2) Найти объем, ограниченный поверхностями

$\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)^2+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

$\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)^2=\dfrac{x}{a}$

$z>0;y>0$

Есть идея перейти к обобщенным сферическим координатам:

$\begin{cases} x=ar\sin\theta\cos\varphi, \\ y=br\sin\theta\sin\varphi, \\ z=cr\cos\theta. \end{cases}$

$J=abcr^2\sin\theta$

$r^2+2r^2\sin^2\theta\cos\varphi\sin\varphi=r\sin\theta\cos\varphi$

$r=\dfrac{\sin\theta\cos\varphi}{1+\sin^2\theta\sin(2\varphi)}$

$cos\theta>0\;\;\;\;\sin\varphi>0$

$V=\displaystyle\int_{0}^{\pi}d\varphi \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \displaystyle\int_{0}^{\frac{\sin\theta\cos\varphi}{1+\sin^2\theta\sin(2\varphi)}}r^2\sin\theta dr$

Верно? Реально ли построить картинку хоть в какой-то их этих двух задач?

Верно ли это?

[Otta]

oleg-oleg в сообщении #722556 писал(а):

Получаем...

Не получаем. Подставьте еще раз.
И пределы интегрирования по $\varphi$ другие. Второй пока не смотрела.
А обобщенные цилиндрические или обобщ. сферические не хотите попробовать?

Upd А во втором Вы что, первую поверхность совсем не учитываете?

[oleg-oleg]

Спасибо.

$(x^2+y^2)^2=(r^2\sin^2\theta+r^2\sin^2\theta)^2=4r^4\sin^4\theta$

$4r^4\sin^4\theta+r^4\cos^4\theta=a^3r\sin\theta(\cos\varphi-\sin\varphi)}}$

$r^3(4\sin^4\theta+\cos^4\theta)=a^3\sin\theta(\cos\varphi-\sin\varphi)}}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{a^3\sin\theta(\cos\varphi-\sin\varphi)}{4\sin^4\theta+\cos^4\theta}}$

Теперь верно?

[Otta]

В этом месте да. Остальные замечания в силе.

(Оффтоп)

Интегрировать Вам это потом да интегрировать...

[oleg-oleg]

Тогда какие пределы по $\varphi$ , я не понимаю(( Вроде ограничений на угол нет...

-- 11.05.2013, 23:45 --

2) Найти объем, ограниченный поверхностями

а) $\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)^2+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

б) $\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)^2=\dfrac{x}{a}$

После перехода к обобщенным сферическим координатам:

а) $r^2+2r^2\sin^2\theta\cos\varphi\sin\varphi+r^2\cos^2\theta=1$

б) $r^2+2r^2\sin^2\theta\cos\varphi\sin\varphi=r\sin\theta\cos\varphi$

а) $r_1=\dfrac{1}{1+2\sin^2\theta\cos\varphi\sin\varphi+\cos^2\theta}$

б) $r_2=\dfrac{\sin\theta\cos\varphi}{1+\sin^2\theta\sin(2\varphi)}$

А как узнать -- откуда нужно интегрировать -- от $r_1$ до $r_2$ или от $r_2$ до $r_1$. Правильно ли подставил и выразил?

[Otta]

oleg-oleg в сообщении #722597 писал(а):

Тогда какие пределы по $\varphi$ , я не понимаю(( Вроде ограничений на угол нет...

А как Вы определяете, есть или нет? Вы же картинку не можете нарисовать.

Есть ограничения, есть. Угол $\varphi$ полностью может быть описан абсциссой и ординатой. А они не любые. Правая часть неотрицательна заведомо в Вашем уравнении.

Да и $r$ Вы считаете, не обращая внимания на его знак и не помня о геометрическом смысле этой величины. Целых два шанса было у Вас зацепиться.

-- 12.05.2013, 01:53 --

oleg-oleg в сообщении #722597 писал(а):

После перехода к обобщенным сферическим координатам:

Ну и зачем Вы так любите сферические, когда вторая поверхность - явный и откровенный цилиндр?
Не усложняйте себе жизнь.

[oleg-oleg]

Попробую первую сделать цилиндрическими:

1) Найдите объем, ограниченный $(x^2+y^2)^2+z^4=a^3(x - y)$

Есть идея перейти к сферическим координатам:

$\begin{cases} x=r\cos\varphi, \\ y=r\sin\varphi, \\ z=z \end{cases}$

$J=r$

Получаем

$r^4+z^4=a^3r(\cos\varphi-\sin\varphi)}}$

$\cos\varphi-\sin\varphi\geqslant 0;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\in \left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{4};\pi\right]$

$z=\sqrt[4]{a^3r(\cos\varphi-\sin\varphi)-r^4}$

$V=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}d\varphi \displaystyle\int_{0}^{???}dr \displaystyle\int_{0}^{\sqrt[4]{a^3r(\cos\varphi-\sin\varphi)-r^4}}r dz+\displaystyle\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\pi}d\varphi \displaystyle\int_{0}^{???}dr \displaystyle\int_{0}^{\sqrt[4]{a^3r(\cos\varphi-\sin\varphi)-r^4}}r dz$

Верно?

[provincialka]

Границы для $\varphi$ не такие. Во-первых, $\frac{5\pi}{4}>\pi$. А проще посмотреть на исходное уравнение: имеем $x\ge y$, то есть $-\frac{3\pi}{4}\le\varphi\le \frac{\pi}{4}$. Так хоть промежуток один.

Может, поворот сделать на $45^o$?

[oleg-oleg]

provincialka в сообщении #722647 писал(а):

Границы для $\varphi$ не такие. Во-первых, $\frac{5\pi}{4}>\pi$. А проще посмотреть на исходное уравнение: имеем $x\ge y$, то есть $-\frac{3\pi}{4}\le\varphi\le \frac{\pi}{4}$. Так хоть промежуток один.

Может, поворот сделать на $45^o$?

Спасибо. А что при таком повороте произойдет?

[Otta]

oleg-oleg

Цилиндр где? во второй задаче!!! Там и делайте цилиндрические, где цилиндры!
Оставьте уже Ваши сферические в первой на месте, у Вас там только со счетом проблемы будут.
А с цилиндрическими Вы от этого счета там совсем ошалеете.
Поворот можно не делать, погоды не меняет, имхо.

[oleg-oleg]

2) Найти объем, ограниченный поверхностями

a) $\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)^2+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

b) $\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)^2=\dfrac{x}{a}$

$z>0;y>0$

$\begin{cases} x=ar^2\cos\varphi, \\ y=br^2\sin\varphi, \\ z=ch \end{cases}$

$J=2ar^2\sin(2\varphi)$

a) $r^4+h^4=1$

b) $r^4=r^2\cos\varphi\;\;\; \Rightarrow\;\;\;\;\;r^2\cos\varphi$

-- 12.05.2013, 01:17 --

Otta в сообщении #722657 писал(а):

oleg-oleg

Цилиндр где? во второй задаче!!! Там и делайте цилиндрические, где цилиндры!
Оставьте уже Ваши сферические в первой на месте, у Вас там только со счетом проблемы будут.
А с цилиндрическими Вы от этого счета там совсем ошалеете.
Поворот можно не делать, погоды не меняет, имхо.

А вот так можно во втором? Или переделать в "чистые цилиндрические"?

[Otta]

oleg-oleg в сообщении #722659 писал(а):

А вот так можно во втором? Или переделать в "чистые цилиндрические"?

Чистые - это без квадратов или без констант?
Без констант Вам будет очень-очень плохо. Но надо, наверное, чтобы Вы убедились в этом сами и больше не спрашивали. )
Возведение длины радиус-вектора в квадрат в Вашей замене не имеет никакого смысла. Имел бы какой-то смысл подбор нужных степеней для синуса и косинуса. Но в этом случае нужно быть очень осторожным, помня об области, где меняются х и у. В принципе, можно сделать так, как есть, убрав ненужные квадраты с $r$, только не забудьте как следует возвести сумму в квадрат.

[oleg-oleg]

Ок, попробую...

$\begin{cases} x=ar\cos^2\varphi, \\ y=br\sin^2\varphi, \\ z=ch \end{cases}$

$J=abcr\sin(2\varphi)$

a) $r^4+h^4=1$

b) $r^4=r\cos^2\varphi\;\;\; \Rightarrow\;\;\;\;\;r=\sqrt[3]{\cos^2\varphi}$

$V=abc\displaystyle\int_{0}^{\pi}d\varphi \displaystyle\int_{0}^{\sqrt[3]{\cos^2\varphi}}dr \displaystyle\int_{0}^{\sqrt[4]{1-r^4}}r\sin(2\varphi) dz$

[Otta]

Ага. Хвост вытащишь, нос увяз.
Порядок в степенях наведите, все еще косяки при подстановке, составьте интеграл, и считайте.

Да, и не забудьте обратить внимание, что при такой замене у Вас $x, y$ просто обязаны быть неотрицательными, чего исходно... есть, но не для всех координат. Обойти это можно, воспользовавшись симметричностью области.

[oleg-oleg]

Otta в сообщении #722668 писал(а):

Ага. Хвост вытащишь, нос увяз.
Порядок в степенях наведите, все еще косяки при подстановке, составьте интеграл, и считайте.

Спасибо, вот так?

a) $r^4+h^2=1$

b) $r^4=r\cos^2\varphi\;\;\; \Rightarrow\;\;\;\;\;r=\sqrt[3]{\cos^2\varphi}$

$V=abc\displaystyle\int_{0}^{\pi}d\varphi \displaystyle\int_{0}^{\sqrt[3]{\cos^2\varphi}}dr \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{1-r^4}}r\sin(2\varphi) dz$