Спасибо за внимание и советы!
У меня, однако, есть несколько замечаний по Вашим планам.
К первому:
Может такой план пройдёт.
1.

-выпуклая функция.
2.

-выпуклая.
3. Если

-выпуклая,то

-выпуклая=>

-выпуклая.
4.

-вогнутая. Наверное положительная?
5. Если

-вогнутая и положительная, то

-выпуклая.
Пункт 3 неверен. Возьмём

. Она явно выпуклая. Но

вогнута при

и выпукла при

. Другой пример:

выпукла. Однако

всюду вогнута. Чтобы Ваша импликация была верна, достаточно потребовать монотонный рост

. Да и

вогнута около нуля=)
Пункт 4 не совсем верен:

положительна и точно не вогнута (на Вольфраме
http://www.wolframalpha.com вбить "Plot[(-Polylog[5/2, -Exp[g]]),{g,-5,5}]". Почему-то прямую ссылку форум не распознал).
Пункт 5 тоже неверен. Пусть

где-нибудь в окрестности единицы. Она, очевидно, положительна и вогнута. Функция

всё так же положительна и вогнута в той же окрестности при

.
План нужно подкорректировать и попробовать доказать такими маленькими шагами.
1.

выпуклая, возрастающая, положительная.
2.

выпуклая, убывающая, положительная.
3.

вогнутая, убывающая, отрицательная.
4.

выпуклая, возрастающая, положительная.
5.

тоже выпуклая, возрастающая, положительная.
Здесь можно начинать сразу с пункта 4, если взять вот такое представление полилогарифма (есть на википедии):
Положительность, возрастание и выпуклость проверяются влёт. А вот пункт 5 я и пытаюсь доказать=)