Про линейную связность

[sopor]

Почему $\sin{1/x}\cup(0,0)$ не линейно связно? Давно пытаюсь найти нормальное объяснение, но такового нигде нет

[ИСН]

Ну а как Вы точку слева и точку справа соедините непрерывной кривой (и кстати, что это такое вообще)?

[Someone]

sopor в сообщении #722171 писал(а):

Почему $\sin{1/x}\cup(0,0)$ не линейно связно? Давно пытаюсь найти нормальное объяснение, но такового нигде нет

А какое множество называется линейно связным? Кстати, вопрос Вы сформулировали весьма неряшливо, если не сказать хуже.

[sopor]

Someone в сообщении #722176 писал(а):

sopor в сообщении #722171 писал(а):

Почему $\sin{1/x}\cup(0,0)$ не линейно связно? Давно пытаюсь найти нормальное объяснение, но такового нигде нет

А какое множество называется линейно связным? Кстати, вопрос Вы сформулировали весьма неряшливо, если не сказать хуже.

Множество линейно связно, если любые две его точки можно соединить непрерывным путём. Надо показать, что $(0,0)$ нельзя соединить ни с чем, кроме себя самой. Это понятно лишь на интуитивном уровне, как это объяснить на экзамене, например, я не знаю.

[ИСН]

Ну а чем соединить? Какой кривой? График любой другой функции - не годится потому, что это будет график не нашей функции. А график нашей функции не годится потому, что он в нуле это самое.

[g______d]

Ну типа того, пусть есть путь $(x(t),y(t))$, $x(0)=1/2$, $y(0)=\sin1/2$, $x(1)=y(1)=0$ и докажите, что функция $y(\cdot)$ не может быть непрерывной в окрестности единицы (а, казалось, бы, должна быть как композиция непрерывных функций).

[ewert]

Путь от единички до нуля описывается однозначно с точностью до гомоморфизма, и от минус единички аналогично. А в нуле всё рвётся.

Что, конечно, очевидно. Но вот формализовать... занудство какое-то. Видимо, наиболее правильным способом доказательства будет "да очевидно".

[g______d]

ewert в сообщении #722196 писал(а):

Путь от единички до нуля описывается однозначно с точностью до гомоморфизма, и от минус единички аналогично. А в нуле всё рвётся.

Насчет однозначности --- замучаетесь доказывать (он еще может назад поворачивать --- что имеется в виду под гомеоморфизмом?).

Можно, например, так. Рассмотрим путь от -1 до 1. Это непрерывное отображение отрезка в наше подмножество. Поскольку топология индуцируется из $\mathbb R^2$, оно будет непрерывным отображением в $\mathbb R^2$. Поскольку образ компакта компакт, образ отрезка, т. е. этот путь, будет замкнут в $\mathbb R^2$. Посмотрим на множество координат $x$ этого пути. Поскольку первая координата является непрерывной функцией, это множество содержит отрезок $[-1;1]$. Поскольку исходное множество пересекается с каждой вертикальной прямой только в одной точке, образ отрезка содержит кусок нашего множества от -1 до 1. Значит, этот кусок должен быть замкнутым, как перечесение образа отрезка с замкнутым множеством. А он не замкнут, т. к. наше множество не является замкнутым в окрестности нуля.

Если в качестве исходного множества имелось в виду замыкание графика, то можно примерно так же доказать.

[lyuk]

Пусть $f=(\varphi, \psi):[0,1]\to\mathbb R^2$ -- непрерывное отображение, которое соединяет точки $(1,\sin 1)$ и $(-1,-\sin 1)$. Тогда $\varphi([0,1])=[a,b]$ и $f([0,1])=\{(x,\sin \frac 1x):x\in[a,b]\setminus\{0\}\}\cup\{(0,0)\}$ -- некомпактное множество (прротиворечие).

[Someone]

Да проще можно. Сыграть на том, что $\lim\limits_{x\to 0^+}\sin\frac 1x$ не существует.

[lyuk]

to ${\bf Someone}$
Что-то я не вижу, как там проще.

[Someone]

lyuk в сообщении #722535 писал(а):

Что-то я не вижу, как там проще.

Проще в том смысле, что не используется понятие компактности и свойства непрерывных отображений компактных пространств. Можно ограничиться стандартными рассуждениями с пределами и непрерывностью.

[lyuk]

Согласен