Бесконечность простых через функцию Эйлера [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Пользуясь выражением для функции Эйлера, доказать бесконечность числа простых чисел.

Моя попытка решения: Рассмотрим первый случай:
Пусть $\mathbb{P}=\{p_1, p_2, \dots, p_k\},$ где $k\geqslant 2$. Тогда рассмотрим число $a=p_1p_2\dots p_k$. Получаем, что $\varphi(a)=(p_1-1)(p_2-1)\dots(p_k-1)>1.$
С другой стороны, так как все числа от $2$ до $a$ в своем каноническом разложении имеют простые указанного вида в силу того, что множество простых чисел исчерпываются простыми $p_1, p_2, \dots, p_k$. Но только $\text{gcd}(1,a)=1$. Получаем, что $\varphi(a)=1$. Противоречие.

Рассмотрим второй случай:
Пусть $\mathbb{P}=\{p_1\}$. Если $p_1>2$, то получаем противоречие аналогичное с первым случаем. Но если $p_1=2$, то при $a=p_1$ мы получаем, что $\varphi(a)=1$ и вроде никакого противоречия.

Объясните пожалуйста этот момент.

[ewert]

Whitaker в сообщении #721957 писал(а):

Рассмотрим второй случай:
Пусть $\mathbb{P}=\{p_1\}$.

А откуда этот случай возьмётся?...

[Whitaker]

ewert
В первом случае множество простых чисел исчерпывалось числами $p_1, p_2, \dots, p_k$, где $k\geqslant 2$
Во втором случае $k=1$, т.е. множество простых чисел состоит из одного простого числа.

[ewert]

Whitaker в сообщении #721959 писал(а):

т.е. множество простых чисел состоит из одного простого числа.

А откуда следует, что множество простых чисел может состоять только из одного числа -- из того, что это неверно, да?...

Хотя, конечно, если чесать левое ухо исключительно правой ногой, а бесконечность простых числе доказывать исключительно с помощью функции Эйлера -- то любые логические завихрения возможны...

[Whitaker]

Уважаемый ewert
а почему она не может состоять из одного числа?! Скажем двойки.
Я думаю, что в этом случае можно провести такое рассуждение: Рассмотрим число $a=p_1^2=2^2=4$. По формуле Эйлера $\varphi(a)=2$, но с другой стороны $\varphi(a)=1.$
Можно так?

[Cash]

Как только мы научились считать до трёх - у нас уже есть 2 простых числа, как минимум...

[Whitaker]

Cash
не совсем Вас понял. Ну а почему множество простых чисел не может состоять только из двойки?

[ewert]

Whitaker в сообщении #721966 писал(а):

Ну а почему множество простых чисел не может состоять только из двойки?

Ну а почему множество всех чётных чисел не может состоять только из двойки?...

Но вообще-то полнейший сюрреализм начался уже тогда, когда Вы взяли произведение всех простых чисел и вместо того, чтобы, как все порядочные люди, прибавить единичку, навесили зачем-то функцию Эйлера.

[Null]

3 - простое. Докажите если надо.

[venco]

А мне и с первым случаем ничего не понятно.

Whitaker в сообщении #721957 писал(а):

С другой стороны, так как все числа от $2$ до $a$ в своем каноническом разложении имеют простые указанного вида в силу того, что множество простых чисел исчерпываются простыми $p_1, p_2, \dots, p_k$.

Не смог распарсить это высказывание. Есть "так как" и "в силу того", а вот того, что из этого следует, не видно.

Whitaker в сообщении #721957 писал(а):

Но только $\text{gcd}(1,a)=1$. Получаем, что $\varphi(a)=1$.

Каким образом получаем?

[Null]

venco в сообщении #721973 писал(а):

Whitaker в сообщении #721957 писал(а):
Но только $\text{gcd}(1,a)=1$. Получаем, что $\varphi(a)=1$.
Каким образом получаем?

Все остальное делиться на простые числа и, значит, имеет НОД с $a$

[Whitaker]

ewert
А зачем туда прибавлять еще единичку? Просто если взять их произведение, то мы можем сразу применить функцию Эйлера, так как там "удобный" вид.

Null
А каким боком относится то, что 3 - простое число к моему случаю?!
Т.е. когда $\mathbb{P}=\{2\}$

[Null]

Whitaker в сообщении #721982 писал(а):

Null
А каким боком относится то, что 3 - простое число к моему случаю?!

Вы либо рассматриваете ВСЕ простые числа, либо ваши рассуждения ни чему не противоречат.

[venco]

Null в сообщении #721978 писал(а):

venco в сообщении #721973 писал(а):

Whitaker в сообщении #721957 писал(а):
Но только $\text{gcd}(1,a)=1$. Получаем, что $\varphi(a)=1$.
Каким образом получаем?

Все остальное делиться на простые числа и, значит, имеет НОД с $a$

Изнвините, я пока не вижу логики.
Да, НОД с $a$ любого числа, кроме единицы, больше единицы.
Но при чём тут $\varphi(a)$?

[Whitaker]

$\varphi(a)$ - количество чисел от $1$ до $a$, которые взаимно-просты с $a$. Раз все числа от $2$ до $a$ имеют НОД, больше единицы, то $\varphi(a)=1$