кинетическая энергия

[Oleg Zubelevich]

кинетическая энергия твердого тела твердого тела с неподвижной точкой $C$ вычисляется по формуле $T=(J_C\overline \omega,\overline \omega)/2$. Доказать, что $\dot T=(J_C\dot{\overline \omega},\overline \omega)$.

[Legioner93]

$d(\vec{a},\vec{b})=(d\vec{a},\vec{b})+(\vec{a},d\vec{b})$
$(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$

[Oleg Zubelevich]

ну это без комментариев, а задача остается.

[Legioner93]

Что не так?

[Ms-dos4]

$\[K = \frac{1}{2}({\bf{J\omega }},{\bf{\omega }})\]$

где

$\[{\bf{\omega }} = ({\omega _1},{\omega _2},{\omega _3})\]$

$\[{\bf{J}}\]$ - тензор инерции относительно точки C

Сделаем преобразование

$\[{\bf{\tilde J}} = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{J}}){\bf{E}} - {\bf{J}}\]$

Тогда

$\[K = - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J\tilde \omega }})\]$

где

$\[{\bf{\tilde \omega }} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {\omega _3}}&{{\omega _2}}\\ {{\omega _3}}&0&{ - {\omega _1}}\\ { - {\omega _2}}&{{\omega _1}}&0 \end{array}} \right)\]$

Имеем

$\[\dot K = - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} (\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}{\bf{\tilde J\tilde \omega }}) - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})\]$

Известно, что $\[{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}) = {\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})^T}) = {\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({(\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})^T}{{{\bf{\tilde J}}}^T}{{{\bf{\tilde \omega }}}^T})\]$

Но в нашем случае ввиду симметричности/кососимметричности соотв. матриц

$\[\begin{array}{l} {(\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})^T} = - \frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}\\ {{{\bf{\tilde J}}}^T} = {\bf{\tilde J}}\\ {{{\bf{\tilde \omega }}}^T} = - {\bf{\tilde \omega }} \end{array}\]$

Отсюда

$\[\dot K = - {\mathop{\rm Sp}\nolimits} (\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}{\bf{\tilde J}}\tilde \omega )\]$

(или в исходной форме записи $\[\dot K = ({\bf{J}}\frac{{d{\bf{\omega }}}}{{dt}},{\bf{\omega }})\]$)

Ч.т.д.

[Oleg Zubelevich]

Ms-dos4 в сообщении #721745 писал(а):

Имеем

$\[\dot K = - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} (\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}{\bf{\tilde J\tilde \omega }}) - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})\]$

а почему, скажем, Вы не дифференцируете по времени $\bf{\tilde J}$?

[Ms-dos4]

Oleg Zubelevich в сообщении #721783 писал(а):

а почему, скажем, Вы не дифференцируете по времени $\bf{\tilde J}$?

Забыл указать, была выбрана система отсчёта, жёстко связанная с телом. Поэтому компоненты тензора инерции не меняются, а проекции угловых скоростей - да.

[Oleg Zubelevich]

Ms-dos4 в сообщении #721784 писал(а):

была выбрана система отсчёта, жёстко связанная с телом.

в таком случае производная по времени от компонент вектора

Ms-dos4 в сообщении #721745 писал(а):

е

$\[{\bf{\omega }} = ({\omega _1},{\omega _2},{\omega _3})\]$

не совпадает с $\dot{\overline\omega}$ указанным в условии задачи

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #721786 писал(а):

не совпадает

точнее: "не для всякого вектора совпадает", почему совпадает для $\overline\omega$


что уже подсказка

[fizeg]

Ms-dos4 в сообщении #721784 писал(а):

Забыл указать, была выбрана система отсчёта, жёстко связанная с телом

А чему равна угловая скорость тела в системе отсчета жёстко связанной с телом?

Можно опять же расписать момент импульса через радиус-вектор точки тела векторно на ее скорость и, пару раз применив бац-цаб и ортогональность векторного произведения исходным векторам, показать, что $((\frac{d}{dt}J_C)\omega,\omega)=0$

[Pphantom]

Сообщение Yustas отправлено в Карантин («Вопрос про кинетическую энергию»).

[svv]

Пусть векторы $a$ и $b$ жестко связаны с твердым телом. Тогда $\dot{a}=[\omega,a]$, $\dot{b}=[\omega,b]$.

Пусть $Jab$ означает $(Ja, b)$. Тогда $0=\frac{d}{dt}(Jab)=\dot J ab+J\dot{a}b+Ja\dot{b}$ ($\heartsuit$)

Пусть в текущий момент $a=b=\omega$. Тогда в этот момент $\dot a=\dot b=[\omega, \omega]=0$. Подставляя в ($\heartsuit$), получим $\dot J\omega\omega=0$

[Oleg Zubelevich]

svv в сообщении #979600 писал(а):

Тогда $0=\frac{d}{dt}(Jab)$

а это почему?

-- Сб фев 21, 2015 12:17:28 --

Решение:

$$\frac{d}{dt}(J_C\overline \omega)=\frac{\delta}{\delta t}(J_C\overline \omega)+[\overline \omega,J_C\overline \omega]=J_C\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega+[\overline \omega,J_C\overline \omega]$$

где $\frac{\delta}{\delta t}$ -- производная вектора в системе координат жестко связанной с твердым телом. При этом

$$\frac{d}{dt}\overline\omega=\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega+[\overline \omega,\overline \omega]=\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega.$$

[svv]

Oleg Zubelevich
В базисе, жестко связанном с телом, $J, a, b$ постоянны, а $Jab$ не зависит от базиса.

[Oleg Zubelevich]

тогда непонятно, что Вы разумеете под $d/dt$ . если это производная относительно инерциальной системы (стандартная) то Ваш вывод неверен, если это та производная, что я обозначил дельтами, то это не то, что требовалось в условии задачи