2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 кинетическая энергия
Сообщение09.05.2013, 21:43 
кинетическая энергия твердого тела твердого тела с неподвижной точкой $C$ вычисляется по формуле $T=(J_C\overline \omega,\overline \omega)/2$. Доказать, что $\dot T=(J_C\dot{\overline \omega},\overline \omega)$.

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение09.05.2013, 21:58 
Аватара пользователя
$d(\vec{a},\vec{b})=(d\vec{a},\vec{b})+(\vec{a},d\vec{b})$
$(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение09.05.2013, 22:47 
ну это без комментариев, а задача остается.

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение09.05.2013, 23:05 
Аватара пользователя
Что не так?

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение10.05.2013, 00:37 
$\[K = \frac{1}{2}({\bf{J\omega }},{\bf{\omega }})\]$

где

$\[{\bf{\omega }} = ({\omega _1},{\omega _2},{\omega _3})\]$

$\[{\bf{J}}\]$ - тензор инерции относительно точки C

Сделаем преобразование

$\[{\bf{\tilde J}} = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{J}}){\bf{E}} - {\bf{J}}\]$

Тогда

$\[K =  - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J\tilde \omega }})\]$

где

$\[{\bf{\tilde \omega }} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - {\omega _3}}&{{\omega _2}}\\
{{\omega _3}}&0&{ - {\omega _1}}\\
{ - {\omega _2}}&{{\omega _1}}&0
\end{array}} \right)\]$

Имеем

$\[\dot K =  - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} (\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}{\bf{\tilde J\tilde \omega }}) - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})\]$

Известно, что $\[{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}) = {\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})^T}) = {\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({(\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})^T}{{{\bf{\tilde J}}}^T}{{{\bf{\tilde \omega }}}^T})\]$

Но в нашем случае ввиду симметричности/кососимметричности соотв. матриц

$\[\begin{array}{l}
{(\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})^T} =  - \frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}\\
{{{\bf{\tilde J}}}^T} = {\bf{\tilde J}}\\
{{{\bf{\tilde \omega }}}^T} =  - {\bf{\tilde \omega }}
\end{array}\]$

Отсюда

$\[\dot K =  - {\mathop{\rm Sp}\nolimits} (\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}{\bf{\tilde J}}\tilde \omega )\]$

(или в исходной форме записи $\[\dot K = ({\bf{J}}\frac{{d{\bf{\omega }}}}{{dt}},{\bf{\omega }})\]$)

Ч.т.д.

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение10.05.2013, 04:34 
Ms-dos4 в сообщении #721745 писал(а):
Имеем

$\[\dot K = - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} (\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}{\bf{\tilde J\tilde \omega }}) - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})\]$


а почему, скажем, Вы не дифференцируете по времени $\bf{\tilde J}$?

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение10.05.2013, 04:56 
Oleg Zubelevich в сообщении #721783 писал(а):
а почему, скажем, Вы не дифференцируете по времени $\bf{\tilde J}$?


Забыл указать, была выбрана система отсчёта, жёстко связанная с телом. Поэтому компоненты тензора инерции не меняются, а проекции угловых скоростей - да.

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение10.05.2013, 05:09 
Ms-dos4 в сообщении #721784 писал(а):
была выбрана система отсчёта, жёстко связанная с телом.


в таком случае производная по времени от компонент вектора
Ms-dos4 в сообщении #721745 писал(а):
е

$\[{\bf{\omega }} = ({\omega _1},{\omega _2},{\omega _3})\]$

не совпадает с $\dot{\overline\omega}$ указанным в условии задачи

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение10.05.2013, 06:13 
Oleg Zubelevich в сообщении #721786 писал(а):
не совпадает


точнее: "не для всякого вектора совпадает", почему совпадает для $\overline\omega$ :?:


что уже подсказка :-(

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение13.05.2013, 16:48 
Ms-dos4 в сообщении #721784 писал(а):
Забыл указать, была выбрана система отсчёта, жёстко связанная с телом

А чему равна угловая скорость тела в системе отсчета жёстко связанной с телом? :?

Можно опять же расписать момент импульса через радиус-вектор точки тела векторно на ее скорость и, пару раз применив бац-цаб и ортогональность векторного произведения исходным векторам, показать, что $((\frac{d}{dt}J_C)\omega,\omega)=0$

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение17.02.2015, 16:36 
 i  Сообщение Yustas отправлено в Карантин («Вопрос про кинетическую энергию»).

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение17.02.2015, 18:01 
Аватара пользователя
Пусть векторы $a$ и $b$ жестко связаны с твердым телом. Тогда $\dot{a}=[\omega,a]$, $\dot{b}=[\omega,b]$.

Пусть $Jab$ означает $(Ja, b)$. Тогда $0=\frac{d}{dt}(Jab)=\dot J ab+J\dot{a}b+Ja\dot{b}$ ($\heartsuit$)

Пусть в текущий момент $a=b=\omega$. Тогда в этот момент $\dot a=\dot b=[\omega, \omega]=0$. Подставляя в ($\heartsuit$), получим $\dot J\omega\omega=0$

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение21.02.2015, 12:10 
svv в сообщении #979600 писал(а):
Тогда $0=\frac{d}{dt}(Jab)$

а это почему?

-- Сб фев 21, 2015 12:17:28 --

Решение:
$$\frac{d}{dt}(J_C\overline \omega)=\frac{\delta}{\delta t}(J_C\overline \omega)+[\overline \omega,J_C\overline \omega]=J_C\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega+[\overline \omega,J_C\overline \omega]$$
где $\frac{\delta}{\delta t}$ -- производная вектора в системе координат жестко связанной с твердым телом. При этом
$$\frac{d}{dt}\overline\omega=\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega+[\overline \omega,\overline \omega]=\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega.$$

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение21.02.2015, 12:24 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich
В базисе, жестко связанном с телом, $J, a, b$ постоянны, а $Jab$ не зависит от базиса.

 
 
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение21.02.2015, 12:30 
тогда непонятно, что Вы разумеете под $d/dt$ . если это производная относительно инерциальной системы (стандартная) то Ваш вывод неверен, если это та производная, что я обозначил дельтами, то это не то, что требовалось в условии задачи

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group