Сумма комбинаций [2]

[DjD USB]

Доказать, что общий числитель суммы $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 7}+....+...$ ( мы суммируем все различные числа в знаменателях которых произведение двух различных чисел меньших простого числа $p$) делится на $p$
Я делал так. Эта сумма равна $\frac{(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{(p-1)})^2-(1^2+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{(p-1)^2})}{2}$
Первая скобка на $p$ делится. Не получается доказать что вторая скобка делится.

[ИСН]

Вы хотели сказать что-то другое.

[DjD USB]

ИСН в сообщении #721470 писал(а):

Вы хотели сказать что-то другое.

В смысле?

[ИСН]

Щас. Как бы это пояснить...
Как выглядит Ваше утверждение для какого-нибудь конкретного маленького p? Полностью, без многоточий?

[DjD USB]

Для 5-ти:
$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4}$

[ИСН]

Ну? По-моему, это $35\over24$.
Ага!
Вот оно чо!
Вы числитель, что ли, имели в виду? Вот здесь:

DjD USB в сообщении #721469 писал(а):

Доказать, что общий знаменатель суммы

[DjD USB]

Блинн, да, я тупонул. Конечно числитель.

-- Чт май 09, 2013 12:23:34 --

Уже исправил)))

[ИСН]

OK. А как Вы доказали, что первая скобка делится на p?

[DjD USB]

ИСН в сообщении #721481 писал(а):

OK. А как Вы доказали, что первая скобка делится на p?

Да

[ИСН]

ИСН в сообщении #721481 писал(а):

как

[DjD USB]

Блин. Я вообще слепой сегодня.
В общем берем крайние числа и складываем( к примеру $1+\frac{1}{p-1}$)

[ИСН]

Ага. Ну.
На самом деле всё обстоит так.
В кольце вычетов по модулю p, когда k пробегает все ненулевые элементы, $1\over k$ тоже пробегает их все, каждый по разу. (Здесь важна простота p.) В этом смысле первая скобка - это тупо сумма всех чисел, а вторая - сумма всех квадратов. Для них известны формулы. Из формул видно, что при $p>3$ (следовало бы это уточнить, нет?) обе скобки действительно делятся на p.
Теперь как бы это пересказать человеческим языком...

[DjD USB]

А какая формула есть для суммы во второй скобке?

[ИСН]

Для суммы квадратов всех чисел от 1 до n какая формула? Простая. Не скажу.

[DjD USB]

Если просто от 1 до n, то $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$