Найти все 2pi периодические решения линейного ДУ.

[patrickj]

Доброго времени суток! Не могу разобраться с дифференциальным уравнением.
Задание такое: найти все $2\pi$ - периодические решения.
Честно говоря, я не могу найти метода для нахождения таких решений. В интернете все для линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Прошу у вас помощи.

$\dot x(t) = (A + B \cdot \cos(t) + C \cdot \sin(t))\cdot x(t) + \sin(t) \cdot e^{\sin(t)} \cdot f$

$A = \begin{pmatrix} -3 & -4 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \\ 8 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 0 \\ -4 & -3 & 0 \\ 4 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} -4 & -4 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ -4 & -4 & 0 \end{pmatrix}$

$f = \begin{pmatrix} 2\\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

[cool.phenon]

Если обозначить составляющие как $\dot{x},\dot{y},\dot{z}$, то получим вполне обычную систему из 3 уравнений с 3 неизвестными. Одним из методов является метод подстановок. Долгий, нудный, но приводящий к верным результатам, если не запутаться.

Либо же можно воспользоваться методов вариации постоянных. Работает практически так же, как и для обычных (Степанов, Курс дифференциальных уравнений,2008 с 280-281)

[Oleg Zubelevich]

Рассматриваем линейную однородную систему. Вычисляем (если явно не интегрируется то на компьютере) матрицу отображения за период. Если у этой матрицы нет собственных чисел равных 1, то периодическое решение существует и единственно. Как его найти см. Демидович Лекции по мат. теории устойчивости

-- Ср май 08, 2013 12:09:54 --

cool.phenon в сообщении #721076 писал(а):

Либо же можно воспользоваться методов вариации постоянных.

а то, что линейные неавтономные уравнения второго порядка и выше, вообще говоря, не интегрируются в квадратурах это как ничего? всеравно будете методом вариации постоянной решать?

[cool.phenon]

Oleg Zubelevich
Спасибо, о таком факте не слышал. Только прошу не казнить за мою неосведомленность. Если метод сработает - повезло. Нет - значит нужен другой метод.

[patrickj]

Oleg Zubelevich в сообщении #721085 писал(а):

Рассматриваем линейную однородную систему. Вычисляем (если явно не интегрируется то на компьютере) матрицу отображения за период.

Скажите, пожалуйста, подробнее, что это за матрица?