Сколько цифр в числе?

[Ktina]

Ксюша записала в десятичной системе счисления некоторое натуральное число $n$, а также все числа, получающиеся перестановками его цифр.
А Кацечка нашла у каждого из этих чисел остаток при делении на 11.
Оказалось, что все 11 возможных остатков встречаются.

Какое наименьшее количество цифр может содержать число $n$?

[Shadow]

Наименьшее 6. Все знаем признак делимости на 11. При 5-значное число 2 цифры будут со знаком минус, так что количество разных остатков будет не больше $C_5^2=10$ А шестью уже можно, например из цифр 1,2,3,4,5,7.

[ИСН]

Чёрт побери, успели, пока я искал, как пишется $\widetilde{abcd}$

-- Ср, 2013-05-08, 10:25 --

5 не хватает самую малость. 6 хватает с таким избытком, что они уже не обязаны быть все разными. 100236 сгодится.

[Shadow]

Веселая подзадачка: Найдите шестизначное число из последовательных цифр (естественно неупорядоченные), делящееся на 11.

[Ktina]

Shadow в сообщении #721269 писал(а):

Веселая подзадачка: Найдите шестизначное число из последовательных цифр (естественно неупорядоченные), делящееся на 11.

Не было таких пряжек

-- 08.05.2013, 20:55 --

Пусть наименьшая из цифр равна $x$
Тогда сумма цифр всего числа равна $6x+15$
Сумма цифр на чётных местах не меньше $3x+3$
Но тогда на нечётных не больше $3x+9$
Аналогично, на нечётных не меньше $3x+3$ и на чётных не больше $3x+9$
Следовательно, сумма на чётных местах должна быть равна сумме на нечётных, но $6x+15$ не делится на 2.

-- 08.05.2013, 20:58 --

Shadow, я права?

-- 08.05.2013, 21:01 --

Только не 9, а 12, обсчиталась. Но сути это не меняет.

-- 08.05.2013, 21:03 --

Модуль разности суммы цифр на чётных местах и суммы цифр на нечётных местах не может превышать 9, из чего следует равенство этих сумм, которое и порождает противоречие, завершающее доказательство.

[Shadow]

Мо
ло
дец!
У меня было такое же решение (с нюансами, не люблю иксов) Достаточно рассмотреть число из цифр 0-5. (А то вычитанием 111111 организируем "метод спуска"). И как Вы сказали - на четных, на нечетных, полуичаем
$\\A+B=15\\ A-B=11$
а чему же еще, с учетом четности.
Откуда $B=2$, но три цифры с суммой 2 нету.