Вычислить предел

[Ktina]

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos (6x)}{1-\cos (3x)}$$

Отлопиталив дважды, получаем

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos (6x)}{1-\cos (3x)}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{6\sin (6x)}{3\sin (3x)}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{36\cos (6x)}{9\cos (3x)}=4$$

Это как раз тот случай, когда ответ можно было угадать, написав "Не знаю. Четыре, наверное."

Загвоздка в том, что, опять же, пользоваться Лопиталем тут нельзя (в смысле, не разрешили). А также всем, что изучается после Лопиталя (например, Маклореном).

Может, существует даже школьное решение?

[provincialka]

Не знаю, можно ли считать решение "школьным", если в нем используется первый замечательный предел. На его основе легко доказывается, что $1-\cos x\sim x^2/2$.
Впрочем, здесь достаточто тригонометрических формул:
$\frac{1-\cos4y}{1-\cos 2y}=\frac{2\sin^22y}{2\sin^2y}=4\cos^2y$

[Ktina]

provincialka,
Спасибо!