2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Стержень
Сообщение06.05.2013, 15:37 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Помогите пожалуйста разобраться:
На плоской поверхности в вертикальном положении удерживается твёрдый однородный стержень массой $m$ и длиной $l\,$.
Стержень находится в состоянии неустойчивого равновесия и при малейшем возмущении окружающей среды начинает двигаться.
Коэффициент сухого трения стержня о стол равен $\mu\,$. Ускорение свободного падения равно $\,g$.

Необходимо описать дальнейшее движение стержня и составить соответствующие уравнения.
Всем заранее спасибо за помощь.

Сам даже совсем не знаю с чего начать. Просто я никак не могу понять каким образом стержень начнёт двигаться? Сразу ли он начнёт проскальзывать? Вперёд, или же назад?

Если стержень в начале не проскальзывает и его нижний конец находится в первоначальном положении, тогда могу предположить следующее. Далее - $\varphi$ - угол, который стержень составляет с перпендикуляром к плоскости:
По ЗСЭ: $$\dfrac{mgl}{2}(1-\cos{\varphi})=\dfrac{I\dot{\varphi}^{2}}{2} \Rightarrow \dot{\varphi}=\sqrt{\dfrac{3g}{l}\left(1-\cos{\varphi} \right)} $$
Также:
$$I\ddot{\varphi}=\dfrac{mgl \sin{\varphi}}{2} \Rightarrow \ddot{\varphi} = \dfrac{3g \sin{\varphi}}{2l} $$
$$a_{n}=\dfrac{\dot{\varphi}^{2}l}{2}=\dfrac{3g}{2}\left(1-\cos{\varphi} \right);a_{\tau}=\dfrac{\ddot{\varphi}l}{2}=\dfrac{3g \sin{\varphi}}{4}$$

По второму закону Ньютона:
$$\begin{cases}mg-N=m(a_{n} \cos{\varphi}+a_{\tau} \sin{\varphi})\\F_{\text{тр}}=m(a_{\tau} \cos{\varphi} - a_{n} \sin{\varphi})\\\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}N=mg \left (\dfrac{3 \cos{\varphi} -1}{2} \right)^{2}\\F_{\text{тр}}=\dfrac{3mg \sin{\varphi}}{4} \left (3 \cos{\varphi}-2 \right)\\\end{cases}$$

Исследуем:
$$\mu = \left |\dfrac{F_{\text{тр}}}{N} \right| = f(\varphi)= \left |\dfrac{3\cos{\varphi}-2}{(3\cos{\varphi}-1)^{2}}\cdot 3\sin{\varphi}  \right| \Leftrightarrow$$
Изображение
$$\mu_{0}=f(\varphi_{0}) \Leftrightarrow f \left(\arctan{\left(\dfrac{2\sqrt{10}}{9}\right)} \right) = \dfrac{15\sqrt{10}}{128}; \varphi_{1}=\arccos {\left (\dfrac{2}{3} \right)};\varphi_{max}=\arccos {\left (\dfrac{1}{3} \right)}$$
Дальнейших выводов я сделать не смог. Что мне даёт этот график? Это решение верно лишь в случае " начального не проскальзывания" , верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение06.05.2013, 15:51 
Заслуженный участник


28/12/12
7990
Пока $F_{\mbox{тр}}<\mu N$, проскальзывать не будет, и ваше решение подходит. Если условие нарушится при $\cos\varphi<2/3$, начнется проскальзывание назад. Тогда надо с этого момента пересчитывать.
Иначе оно непременно нарушится при $\cos\varphi>2/3$, и там будет проскальзывание вперед.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение06.05.2013, 16:01 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
DimaM, а как доказать, что проскальзывания при любом $\mu$ в начале нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение06.05.2013, 16:10 
Заслуженный участник


28/12/12
7990
Omega в сообщении #720410 писал(а):
а как доказать, что проскальзывания при любом $\mu$ в начале нет?
В начале (при $\varphi=0$) $F_{\mbox{тр}}<\mu N$, если $\mu>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение06.05.2013, 16:40 


10/02/11
6786
а еще с этим полезно ознакомиться https://wikis.bris.ac.uk/download/attac ... 1963143000

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение06.05.2013, 16:59 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
DimaM, спасибо.
Что же тогда дальше? Если $\mu \geqslant \mu_{0}$ тогда стержень до $\varphi_{1}=\arccos {\left (\dfrac{2}{3} \right)}$ не проскальзывает, и поэтому если $\begin{cases}\mu \geqslant \mu_{0}\\ \varphi \in (0; \varphi_{1}] \\\end{cases}\,$ то:
$$m \dfrac{d^{2} x}{dt^{2}}=F_{\text{тр}};m \dfrac{d^{2} y}{dt^{2}}=N-mg; x= \dfrac{l}{2} \sin{\varphi};y= \dfrac{l}{2} \cos{\varphi}; $$
$$N=mg \left (\dfrac{3 \cos{\varphi} -1}{2} \right)^{2};F_{\text{тр}}=\dfrac{3mg \sin{\varphi}}{4} \left (3 \cos{\varphi}-2 \right)$$
Правильные же ведь уравнения для этого случая?

А если иметь в виду пока лишь только случай, когда $\begin{cases}\mu < \mu_{0}\\ \varphi \in (0; \varphi_{1}] \\\end{cases}\,$, то что тогда будет, если стержень всё-таки начнёт проскальзывать: всё придётся переписывать? В ЗСЭ появляется работа силы трения, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение06.05.2013, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Omega в сообщении #720433 писал(а):
В ЗСЭ появляется работа силы трения, верно?

Не только работа, но и горизонтальное движение ЦМ стержня "вперёд".
Поэтому через время и проскальзывание сменит знак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение06.05.2013, 21:05 


04/06/12
279
Интересно, может стержень оторваться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение07.05.2013, 08:51 
Заслуженный участник


28/12/12
7990
zer0 в сообщении #720552 писал(а):
Интересно, может стержень оторваться?
При нулевой начальной скорости не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение07.05.2013, 09:24 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Omega в сообщении #720433 писал(а):
Если $\mu \geqslant \mu_{0}$ тогда стержень до $\varphi_{1}=\arccos {\left (\dfrac{2}{3} \right)}$ не проскальзывает

Ведь это же верное утверждение?
Omega в сообщении #720433 писал(а):
если $\begin{cases}\mu \geqslant \mu_{0}\\ \varphi \in (0; \varphi_{1}] \\\end{cases}\,$ то:
$$m \dfrac{d^{2} x}{dt^{2}}=F_{\text{тр}};m \dfrac{d^{2} y}{dt^{2}}=N-mg; x= \dfrac{l}{2} \sin{\varphi};y= \dfrac{l}{2} \cos{\varphi}; $$
$$N=mg \left (\dfrac{3 \cos{\varphi} -1}{2} \right)^{2};F_{\text{тр}}=\dfrac{3mg \sin{\varphi}}{4} \left (3 \cos{\varphi}-2 \right)$$
Правильные же ведь уравнения для этого случая?

Это ведь также верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение07.05.2013, 13:52 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Уважаемые участники форума, помогите пожалуйста: ответьте кто-нибудь на моё предыдущее сообщение.
Для $\begin{cases}\mu \geqslant \mu_{0}\\ \varphi \in (0; \varphi_{1}] \\\end{cases}\,$ движение стержня - есть просто движение его по окружности. Ведь я правильно понимаю?
Всем заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение07.05.2013, 14:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Omega в сообщении #720773 писал(а):
есть просто движение его по окружности

Вращение вокруг неподвижной нижней точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение07.05.2013, 14:03 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
nikvic, да, конечно же. Спасибо за пояснение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение07.05.2013, 15:18 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Хорошо, тогда со случаем $\begin{cases}\mu \geqslant \mu_{0}\\ \varphi \in (0; \varphi_{1}] \\\end{cases}\,$ я разобрался.
Далее хочется разобраться в случае, когда $\begin{cases}\mu \geqslant \mu_{0}\\ \varphi \in (\varphi_{1};\pi/2] \\\end{cases}\,$ .
Верно ли, что в этом случае стержень будет двигаться, проскальзывая вперёд, до того момента, пока $\varphi$ не станет равным $\pi/2\,$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень
Сообщение07.05.2013, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Попробуйте описать всё сразу.
Нижний конец - шарнир, в данный миг имеет известную горизонтальную скорость (будет важен "сигнум"), вертикального движения нет.
Есть угол и угловая скорость - найти ускорения и вектор-реакцию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group