Олимпиада в Новочеркасске. 2007

[denisart]

Задача 4. Как выбрать точку $C$ на графике строго возрастающей дифференцируемой функции $f$ , чтобы сумма площадей фигур, лежащих между графиком и горизонтальной прямой , проведенной через $C$, была наименьшей?

Задача 5. Найти все $ x \in R$, для которых сходится ряд

$$\sum_{k=1}^\infty (1- \exp(\sin kx) ) \arctg(kx)$$

Задача 6. Для того, чтобы уравнение $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ имело действительный корень, достаточно, чтобы уравнение $ax^2+(c-b)x+e-d=0$ имело действительный корень, больший 1. Доказать.

Задача 7. Решить уравнение:

$$\int_{0}^{x} (x-t)y(t) dt = 2x+ \int_{0}^{x} y(t) dt $$

[Oleg Zubelevich]

denisart в сообщении #720457 писал(а):

Задача 7. Решить уравнение:

$$\int_{0}^{x} (x-t)y(t) dt = 2x+ \int_{0}^{x} y(t) dt $$

банальное дифференцирование уравнения по $x$ и замена $z(x)=\int_{0}^{x} y(t) dt $

[EtCetera]

denisart в сообщении #720457 писал(а):

Задача 6. Для того, чтобы уравнение $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ имело действительный корень, достаточно, чтобы уравнение $ax^2+(c-b)x+e-d=0$ имело действительный корень, больший 1. Доказать.

Пусть упомянутый корень второго уравнения равен $t^2$ ($t>1$). Обозначим левую часть первого уравнения $f(x)$, тогда $f(\pm t)=\left(1\pm t\right)\left(bt^2+d\right)$ (поскольку из второго уравнения видно, что $at^4+ct^2+e=bt^2+d$). Значит, значения функции $f(x)$ в точках $\pm t$ либо одинаковы и равны нулю, либо имеют противоположный знак (что подразумевает наличие нуля функции на интервале $\left(-t;t\right)$).

[Oleg Zubelevich]

denisart в сообщении #720457 писал(а):

Задача 5. Найти все $ x \in R$, для которых сходится ряд

$$\sum_{k=1}^\infty (1- \exp(\sin kx) ) \arctg(kx)$$

а при каких $x$ общий член ряда стремится к нулю?

[denisart]

Я, если честно, не совсем понимаю эту олимпиаду. Может я конечно ошибаюсь. Они иногда дают простые задачи, хотя уже всероссийский тур. В этом году они вообще дали старые задачи. В чем фишка, проверка подготовленности?

[denisart]

Просто обычно у них хоть и простые задачи, но новые. А вот когда в этом году на олимпиаде мне выдали задачи, и 2 из них я решал лично, а 2 видел уже где-то, я немного офигел удивился.

[xmaister]

Ездил как-то давно на эту олимпиаду. Там конечно позаимствованы чуть менее чем все задачи.

[denisart]

В этом году была задача, которую в Уфе на всероссийской олимпиаде предлагали.