момент сил инерции

[Oleg Zubelevich]

Пусть $\overline \Omega(t)$ угловая скорость неинерциальной системы координат $A\xi\eta\zeta$ относительно некоторой инерциальной системы. Имеется твердое тело масса которого и распределение масс известны. Угловая скорость этого твердого тела относительно системы $A\xi\eta\zeta$ равна $\overline\omega(t)$.
Рассмотрим движение твердого тела относительно системы $A\xi\eta\zeta$. На него действуют силы инерции. Найти момент этих сил относительно центра масс твердого тела.

[Oleg Zubelevich]

для простоты можно считать, что твердое тело это однородный шар массы $m$, радиуса $r$

[odelschwank]

(ответ)

$$M_\textи=-J\dot\Omega - [\Omega, J\Omega] - [\Omega, J\omega] - [\omega, J\Omega] + J[\omega, \Omega],$$

где $J$ - оператор инерции относительно центра масс тела.

Для шара $J = \frac25mr^2$ и получается $M_\textи = -\frac25mr^2(\dot\Omega + [\Omega, \omega]).$

(решение)

Обозначим $J$ - оператор инерции относительно центра масс.
Производную по времени в подвижной системе будем обозначать $\frac\delta{\delta t}$, например $\frac{d}{dt}\Omega = \frac\delta{\delta t}\Omega + [\Omega,\Omega] = \frac\delta{\delta t}\Omega$.

Напишем теорему об изменении кинетического момента в неподвижных осях:

$$\frac{d}{dt}(J(\Omega + \omega)) = M,$$

где $M$ - момент настоящих сил, и мы пользуемся теоремой о сложении угловых скоростей.
В подвижных осях:

$$\frac\delta{\delta t}(J\omega) = M + M_\textи$$

Отсюда

$$M_\textи = \frac\delta{\delta t}(J\omega) - \frac{d}{dt}(J(\Omega + \omega)) =- \frac\delta{\delta t}(J\Omega) - [\Omega, J(\Omega + \omega)]$$

Обозначим $[\omega]$ оператор, определяемый равенстом $[\omega]x = [\omega, x]$, и воспользуемся формулой $\frac\delta{\delta t}J = [\omega]J - J[\omega]$:

$$M_\textи = -J\frac\delta{\delta t}\Omega - ([\omega]J - J[\omega])\Omega - [\Omega, J(\Omega + \omega)]$$

откуда и следует ответ.