Раскраски

[Sonic86]

Даны $6$ элементов, обозначим их $1,2,3,4,5,6$. Раскрашиваем их в 3 цвета - $0,1,2$ (одинаковость обозначений не вызовет путаницы). Раскраски обозначаем последовательностью цветов, например, $001122$ означает, что объекты $1,2$ покрашены в цвет $0$, объекты $3,4$ - в цвет $1$ и т.п.
Даны 2 перестановки объектов: $\sigma=(1234), \pi=(15)(46)$. Надо доказать, что перестановки порождают всевозможные раскраски из произвольной исходной раскраски.

Вопрос в том, какие методы решения существуют для подобных задач?

Я пытался так:
1. Вычислить $\langle\sigma,\pi\rangle$. Не вышло. Не могу понять, что это за группа.
2. Показать, что все раскраски могут быть построены "по индукции" по числу цветов. В данном случае так: всего $90$ раскрасок. Отождествим раскраски $2$ и $1$ - получим $15$ двуцветных раскрасок. Доказываем, что все двуцветные раскраски достижимы: берем раскраску $000011$ и явно строим $15$-ивершинный связный граф $G$ с ребрами с пометками $\sigma,\pi$. Вернемся к 3-хцветным раскраскам. $90$ раскрасок разбивается на $6$ классов по $15$ раскрасок в каждом. Выберем одну вершину в каждом классе как одну выделенную вершину в графе $G$ (я выбрал вершину $000011$, поскольку это единственная вершина $x:\sigma(x)=x$). Поскольку классы не пересекаются, то достаточно доказать, что все выделенные вершины в группах раскрасок достижимы одна из другой (что-то вроде шага индукции). Конкретно в данном случае надо доказать, что раскраски $001122,100122,110022,011022,101022,010122$ достижимы одна из другой через преобразования $\sigma,\pi$. И дальше уже несложно: явно показываем, что раскраски достижимы: выбираем в $G$ некий замкнутый путь, который в общем случае не должен быть равен тождественной перестановке (т.е. не $\sigma^4, $ не $\pi^2$ и т.п.), применяем эти пути к представителям классов, пока они все не окажутся достижимыми друг из друга.
Здесь плохо то, что индукция дальше одного шага не идет, поскольку надо на каждом шагу строить граф, чтобы находить базис группы путей в графе. Или надо научиться вычислять нетривиальную перестановку, которая сохраняет представитель класса на месте.

Как решать задачу в общем случае?

[AV_77]

Sonic86 в сообщении #720043 писал(а):

1. Вычислить $\langle\sigma,\pi\rangle$. Не вышло. Не могу понять, что это за группа.

Как говорит GAP, она изоморфна $S_5$.