Получение ур-я на ф-ю Грина

[space-like]

Здравствуйте. Не получается получить уравнение на функцию Грина.
Постановка задачи такая:
имеется уравнение дирака
$\gamma_{\mu}(-i\partial_{\mu}-eA_{\mu}(x))\psi(x)+m\psi(x)=0$
и сопряженное ему
$(i\partial_{\mu}-eA_{\mu}(x))\overline{\psi}(x)\gamma_{\mu}+m\overline{\psi}(x)=0$
где $\overline{\psi} = \psi^{\dagger}\gamma_0$
согласно
$(A(x_{0})B(x'_{0}))_{+}= \begin{cases} A(x_{0})B(x'_{0}), & x_{0}>x'_{0} \\ B(x'_{0})A(x_{0}), & x_{0}<x'_{0}, \end{cases}$
и
$\varepsilon(x-x')= \begin{cases} 1, & x_{0}>x'_{0} \\ -1, & x_{0}<x'_{0}, \end{cases}$
записывают
$(\psi_{\alpha}(x)\overline{\psi}_{\beta}(x'))_{+}\varepsilon(x-x')= \begin{cases} \psi_{\alpha}(x)\overline{\psi}_{\beta}(x'), & x_{0}>x'_{0} \\ -\overline{\psi}_{\beta}(x')\psi_{\alpha}(x), & x_{0}<x'_{0},\end{cases}$

среднее от оператора тока представляется как
$\langle j_{\mu}(x) \rangle = {ie}\operatorname{tr}\gamma_{\mu}G(x,x')\Bigr{\vert}_{x'\rightarrow{x}}$
где
$G(x,x')=i \langle (\psi(x)\overline{\psi}(x'))_{+}\rangle\varepsilon(x-x')$
Необходимо получить уравнение
$[\gamma(-i\partial - eA(x))+m]G(x,x')=\langle\gamma_{0}\lbrace\psi(x),\overline{\psi}(x')\rbrace \rangle\delta(x_{0} - x'_{0})$
где $\langle\gamma_{0}\lbrace\psi(x),\overline{\psi}(x')\rbrace \rangle = \langle\gamma_{0}(\psi(x)\overline{\psi}(x')+\overline{\psi}(x')\psi(x)) \rangle$ - антикоммутатор


Моё решение.
Представляю $G(x,x')=i \langle (\psi(x)\overline{\psi}(x'))_{+}\rangle\varepsilon(x-x')$
через ступенчатые функции Хэвисайда
$G(x,x')=i(\langle\psi(x)\overline{\psi}(x')\rangle \theta(x-x') - \langle\overline{\psi}(x')\psi(x)\rangle \theta(x'-x))$


Действую оператором $\gamma(-i\partial - eA(x))+m$ на $G(x,x')$

$\gamma\partial[\langle \psi(x)\overline{\psi}(x')\rangle\theta(x-x')]-\gamma\partial[\langle \overline{\psi}(x')\psi(x)\rangle\theta(x'-x)]\\ -i\gamma{e}A(x)\langle \psi(x)\overline{\psi}(x')\rangle\theta(x-x') +i\gamma{e}A(x)\langle \overline{\psi}(x')\psi(x)\rangle\theta(x'-x)\\ +im\langle \psi(x)\overline{\psi}(x')\rangle\theta(x-x')- im\langle \overline{\psi}(x')\psi(x)\rangle\theta(x'-x)=\\ \gamma(\partial\langle \psi(x)\overline{\psi}(x')\rangle)\theta(x-x') +\gamma_{0}\langle \psi(x)\overline{\psi}(x')\rangle\delta(x_{0}-x_{0}')\\ -\gamma(\partial\langle \overline{\psi}(x')\psi(x)\rangle)\theta(x'-x) -\gamma_{0}\langle \overline{\psi}(x')\psi(x)\rangle\delta(x_{0}'-x_{0})\\ +i(-\gamma{e}A(x)+m)\langle \psi(x)\overline{\psi}(x')\rangle\theta(x-x') -i(-\gamma{e}A(x)+m)\langle \overline{\psi}(x')\psi(x)\rangle\theta(x'-x)=\\ \gamma_{0}\langle \psi(x)\overline{\psi}(x')\rangle\delta(x_{0}-x_{0}')- \gamma_{0}\langle \overline{\psi}(x')\psi(x)\rangle\delta(x_{0}'-x_{0})+\\ i[\gamma(-i\partial - eA(x)) + m]\langle \psi(x)\overline{\psi}(x')\rangle\theta(x-x')\\ -i[\gamma(-i\partial - eA(x)) + m]\langle \overline{\psi}(x')\psi(x)\rangle\theta(x'-x) $
Последние два слагаемых занулятся согласно самому уравнению Дирака.
Итого имею
$[\gamma(-i\partial - eA(x))+m]G(x,x')=\\ \gamma_{0}\langle \psi(x)\overline{\psi}(x')\rangle\delta(x_{0}-x_{0}')- \gamma_{0}\langle \overline{\psi}(x')\psi(x)\rangle\delta(x_{0}'-x_{0})$
Проблема в том, что я получаю коммутатор вместо антикоммутатора. То что мне надо получить антикоммутатор наводит на мысли, что в последнем выражении у второго слагаемого должен скрываться знак минус, но откуда ему там взяться? Дельта-функция чётная, переставлю аргументы местами, ничего не поменяется. То что, я взял производную только по временной компоненте, тоже никак не поможет, в случае если метрика Минковского такая, что произодная по нулевой компоненте требует смены знака, тогда у обоих слагаемых надо знак менять, что ещё хуже - вылезет общий минус (кстати, у меня как раз такая метрика и это усугубляет положение)

[espe]

От формул в глазах рябит, но похоже что минус потеряли когда дифференцировали $\theta(x'_0-x_0)$

$$\frac{\partial\theta(x'_0-x_0)}{\partial x_0}=-\delta(x'_0-x_0)$$

[space-like]

espe в сообщении #720294 писал(а):

От формул в глазах рябит, но похоже что минус потеряли когда дифференцировали $\theta(x'_0-x_0)$

$$\frac{\partial\theta(x'_0-x_0)}{\partial x_0}=-\delta(x'_0-x_0)$$

Похоже, что да. Спасибо, что, не смотря на рябь в глазах, помогли найти ошибку