Генерация многомерного распределения в гиперкубе

[sergmikh79]

Забыл теорию вероятностей, а сейчас приходится вспоминать, прошу помощи.

Исходная задача выглядит таким образом:

Имеется набор из ${m_1}$ $({m_1}>0)$ точек $x^{(1)}, ..., x^{({m_1})}$ таких, что $x^{(i)}\in{D^N}\subset{R^N}$, где $D^N=\{x=(x_1,...,x_N)|x_i\in[-s,s]\}$ - гиперкуб в $R^N$.

Требуется сгенерировать другой набор из ${m_2}$ $({m_2}>0)$ точек $y^{(1)}, ... , y^{({m_2})}$, равномерно распределенных в области ${Q^N}\subset {D^N}$, где ${Q^N} получается из ${D^N} удалением $\varepsilon$-окрестностей $(\varepsilon>0)$ первого набора точек $U_{\varepsilon}(x^{(1)}), ..., $U_{\varepsilon}(x^{({m_1})})$.

На практике мне нужно не очень хорошее равномерное распределение.
Т.е. необязательно, чтобы точки $y^{(1)}, ... , y^{({m_2})}$ уж совсем-пресовсем удовлетворяли тестам на равномерность распределения. Однако важно, что из точек $y^{(1)}, ... , y^{({m_2})}$ опять будет получаться последовательность с вычеркиванием уже окрестностей $U_{\varepsilon}(y^{(1)}), ..., $U_{\varepsilon}(y^{({m_1})})$ из исходного гиперкуба и так далее много раз. Поэтому, кажется, важно, чтобы ошибки не накапливались.

Вопросы следующие:
1. Правильно ли я понимаю, что мне требуется моделировать многомерное распределение в области ${Q^N}$?

2. Можно ли осуществлять следующую схему
1) вместо области ${Q^N}$ взять область $P^N=\{x=(x_1,...,x_N)|x_i\in[0,2s-2\varepsilon]\}$,
2) сгенерировать в ней равномерно распределенные точки $z^{(1)}, ... , z^{({m_2})}$,
3) получить точки $y^{(1)}, ... , y^{({m_2})}$ следующим образом:
$y^{(k)}_i=\begin{cases}z^{(k)}_i+s,&\text{если $z^{(k)}_i<x^{(k)}_i-\varepsilon+s$;}\\z^{(k)}_i+s+2\varepsilon,&\text{если $z^{(k)}_i\ge{x^{(k)}_i-\varepsilon+s}$;}\end{cases}$

3. Пусть у нас ${m_1}={m_2}$.
Пусть также $x^{(1)}, ..., x^{({m_1})}$ равномерно распределены
в гиперкубе $D^N=\{x=(x_1,...,x_N)|x_i\in[-s,s]\}$.
Если в этом случае я c использованием только
некоторого одномерного генератора сгенерирую случайные величины
${\xi_j^{(k)}}$ ($j=1,...,N$, $k=1,...,{m_2}$),
где каждые ${k}$ точек будут получены
одномерным равномерным распределением "покоординатно",
то есть в $[-s,x_j-\varepsilon]{\cup}[x_j+\varepsilon,s]$
То есть точка $y^{(k)}$ у меня будет генерироваться только из $x^{(k)}$,
причем вот таким "покоординатным" образом,
то насколько полученное распределение точек
$y^{(1)}, ... , y^{({m_2})}$
будет "отличаться" от равномерного?
А насколько оно будет отличаться при повторении действий?

4. Подскажите передовой и наиболее эффективный (по скорости и по памяти) и не очень мутный при реализации алгоритм моделирования многомерного равномерного распределения?