предложите ход решения сложной задачи по термеху

[illuminates]

<noindex>Задача: "Найти период малых колебаний полуокружности радиуса R и массы m,
опирающуюся на шероховатую горизонтальную плоскость. Плоскость
полуокружности расположена вертикально."
</noindex>
Я пытался решить составляя уравнение колебаний. Кое что получилось, но требуют пойти совсем другим путём.

Нужно решить эту задачу через функцию Гамильтона или Лагранжа.
То есть, по факту нам нужно получить кинетическую и потенциальную энергию.
Но очень настораживают слова "шероховатую горизонтальную плоскость."
И далее не понятно как искать период используя функции Гамильтона или Лагранжа.

Могу предоставить мои попытки решения если требуется, но там верного к сожалению ничего нет.

Большое спасибо кто откликнется!

[DimaM]

illuminates в сообщении #719406 писал(а):

Но очень настораживают слова "шероховатую горизонтальную плоскость."

Обычно эти слова означают, что проскальзывания нет.

[Oleg Zubelevich]

самое смешное это заголовок темы

[illuminates]

а всё же, множите пожалуйста помочь, чуть-чуть более конкретней.

[Zai]

Полукольцо(арка), как абсолютно жесткое тело при вертикальном положении будет неустойчиво на сваливание вбок, также как вертикальный стержень с тем же весом и моментом инерции. Шероховатость означает отсутствие смещений концов арки. Малые колебания могут быть только при упругих свойствах на сжатие или изгиб кольца.

[Oleg Zubelevich]

Zai в сообщении #719771 писал(а):

Полукольцо(арка), как абсолютно жесткое тело при вертикальном положении будет неустойчиво на сваливание вбок,

во-первых не полукольцо, а полуокружность, а во-вторых ясно, что задача двумерна, т.е. если угодно, рассматривается устойчивость относительно возмущений начальных условий при которых полуокружность лежит в вертикальной плоскости

[Zai]

Цитата:

Плоскость полуокружности расположена вертикально

Цитата:

лежит в вертикальной плоскости

Лежать может только не на вертикальной плоскости, принадлежать может и вертикальной.

[saygogoplz]

задача исключительно одномерная будет колебания ведь малые, найдите центр масс полукруга, момент инерции, распишите энергию через угол отклонения от вертикали. дифференцируйте по времени энергию, угол мал, поэтому синус его замените самим углом, получится осциллятор. Думаю от вас именно этого требуют. вроде подобную задачу здесь уже решали. пользуйтесь поиском.

[illuminates]

Посмотрите, пожалуйста, начало решения.Здесь я нахожу потенциальную и кинетическую энергию полуокружности относительно точки Р. Полуокружность смещена из положения равновесия (ось симметрии повернута на угол φ) и касается плоскости в точке Р.

[Oleg Zubelevich]

формула 2) выглядит подозрительно: в ней, по идее, должна стоять скорость центра масс $v$ и момент инерции относительно центра масс, но дальше написано, что $ v=[\omega,R]$ а из формул выше следует, что $I_{zz}$ это момент инерции не относительно центра масс

[illuminates]

Там записано относительно точки Р.

[Omega]

А можно и так:

$$E=mgh(1-\cos{\varphi})+\dfrac{I\dot{\varphi}^{2}}{2}$$

$$h=\dfrac{1}{m}\int y dm =\dfrac{R}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi} \sin{\alpha} d\alpha=\dfrac{2R}{\pi}$$

$$I=I_{0}+m(R-h)^{2};I_{10}=I_{0}+mh^{2};I_{0}=mR^{2}\Rightarrow I=\dfrac{2mR^{2}(\pi-2)}{\pi}$$

$$\dfrac{dE}{dt}=0 \Leftrightarrow \ddot{\varphi}+\dfrac{mgh}{I}\varphi=0 \Rightarrow T=2\pi\sqrt{\dfrac{R(\pi-2)}{g}}$$

[Oleg Zubelevich]

судя по формуле

Omega в сообщении #721118 писал(а):

к:

$$E=mgh(1-\cos{\varphi})+\dfrac{I\dot{\varphi}^{2}}{2}$$

$I$ это момент инерции относительно точки касаня, но тогда $I$ не может быть константой, как написано:

Omega в сообщении #721118 писал(а):

$$ I=\dfrac{2mR^{2}(\pi-2)}{\pi}$$

просто потому, что расстояние от центра масс до точки контакта зависит от $\varphi$

[Omega]

Отклонения ведь малые, так почему же тогда нельзя считать, что точка контакта находится на постоянном месте?

[Oleg Zubelevich]

а вот как, так сразу и без каких-либо объяснений