Интеграл с параметром, который сначала равен нулю, потом нет

[Legioner93]

Здравствуйте. Как-то где-то (может быть и здесь) прочитал про один интересный интеграл вроде бы такого вида $\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(x,k)dx$ (по-моему там были тригонометрические функции). Его интересность в том, что при нескольких первых целых значениях параметра $k$ он точно равен нулю. А вот потом (то ли начиная с $k=9$, то ли с $k=11$) интеграл внезапно начинает выдавать страшные иррациональные значения.

В этой же заметке был написан чуть ли не целый детектив о том, как математик-открыватель не поверил результатам матлаба (или чего-то аналогичного), написал программистам матлаба, те тоже не поверили своей программе и начали искать в матлабе ошибку

Собственно, хочу вспомнить и больше никогда уже не забывать, что это такой за интеграл и чьим именем он назван. А остальным читателям этой темы будет интересно узнать про него впервые, ну наверное.

И да, мне очень кажется, что мой вопрос не тянет на отдельную полноценную тему, но никакого топика а-ля "Бюро находок" я не нашел, а спросить больше негде.

[nnosipov]

Мне кажется, я его видел в разделе юмора. Что-то типа

$$ I=\int\limits_0^\infty \frac{\prod_{j=0}^k \sin{(t_jx)}}{x^{n+1}}\,dx, $$

где $k \geqslant n \geqslant 0$, $k \equiv n \pmod{2}$, все $t_j>0$ и $t_0>t_1+\ldots+t_k$.

[Legioner93]

Нет-нет, там всё серьезно. Ещё было обоснование, почему интеграл вдруг перестает быть равным нулю. ЕМНИП, дело было в том, что $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{k}$ пересекает некоторую границу (какое-то выражение от $\pi$). Всё очень красиво, в общем. Эх, память-память...

[nnosipov]

Legioner93 в сообщении #719298 писал(а):

Нет-нет, там всё серьезно.

Конечно, интеграл нужно по-честному вычислить, и вот тогда обнаружится эта забавная закономерность.

[Ms-dos4]

Тип интеграла был следующий
$ \[\int\limits_0^\infty {\prod\limits_{k = 0}^n {\frac{{\sin [x/2k + 1]}}{{x/(2k + 1)}}} dx} \]$
Первые шесть интегралов (при k=0..6) равны $\[\frac{\pi }{2}\]$, а следующий...
т.е.
$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin x}}{x}dx} = \frac{\pi }{2}\]$
$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin x}}{x} \cdot \frac{{\sin [x/3]}}{{x/3}}dx} = \frac{\pi }{2}\]$
...
$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin x}}{x} \cdot \frac{{\sin [x/3]}}{{x/3}}... \cdot \frac{{\sin [x/13]}}{{x/13}}dx} = \frac{\pi }{2}\]$
зато
$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin x}}{x} \cdot \frac{{\sin [x/3]}}{{x/3}}... \cdot \frac{{\sin [x/13]}}{{x/13}} \cdot \frac{{\sin [x/15]}}{{x/15}}dx} = \frac{{467807924713440738696537864469\pi }}{{935615849440640907310521750000}}\]$

Дело в том, что

$\[\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ...\frac{1}{{13}} < 1 < \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{15}}\]$

[Legioner93]

Ms-dos4
Это именно то, большое спасибо!

[Legioner93]

Вот больше об этом: раз, два, три.

[nnosipov]

Интересно, что за представление этого интеграла в виде площади пересечения двух фигур.

[Утундрий]

nnosipov в сообщении #719416 писал(а):

Интересно, что за представление этого интеграла в виде площади пересечения двух фигур.

Фурье-преобразований, скорее всего...

[sergei1961]

Ещё ссылка с подробным разбором:
http://arxiv.org/abs/1105.3943v1