Помогите продифференцировать выражение

[Hi4ko]

Есть у нас выражение $L = \frac{1}{2}m (\dot{r} + \omega \times r )^2$

Можете подробно объяснить, как в учебнике получили $\frac{\partial L}{\partial r} = m(\dot{r} \times \omega - \omega \times (\omega \times r))$?

[provincialka]

А что означают эти значки? $\omega$ - константа? А производная по какой переменной берется? По $s$? Если, конечно, точка обозначает производную.

[Hi4ko]

provincialka в сообщении #719202 писал(а):

А что означают эти значки? $\omega$ - константа? А производная по какой переменной берется? По $s$? Если, конечно, точка обозначает производную.

Омега - константа, производная берётся по $r$, $\dot{r}$ - производная $r$ по времени.

[Nimza]

Если $\omega = (\omega_1,\omega_2,\omega_3)^T$ и

$$ A = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & - \omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{bmatrix}, $$

то $\omega \times r = Ar$. Поэтому, к примеру,

$$ \frac{\partial}{\partial r} (\omega \times r)^2 = \frac{\partial}{\partial r} (r^T A^T A r) = 2 A^T Ar = 2 A^T ( \omega \times r) = -2 \cdot \omega \times (\omega \times r). $$

Например, см. Ю.Ф. Голубев "Основы теоретической механики".

[Hi4ko]

можете объяснить не через матрицы?

$ (\dot{r} + \omega \times r )^2 = \dot{r}^2 + 2 \dot{r}[\omega r] + ( \omega \times r)^2$
Если я беру производную по $r$, у меня получается $2 \dot{r}((0 \times r) + (\omega \times 1)) +2 ( \omega \times r)((0 \times r) + (\omega \times 1)) = 2(\omega \times \dot{r} +\omega \times ( \omega \times r)) $, а , судя по ответу, тут должен быть знак минус. Где у меня ошибка?

[Nimza]

Мне режет глаз Ваше $\omega \times 1$. Какой природы объект $\frac{\partial}{\partial r}(\omega \times r)$ (в смысле, число, вектор, матрица, ...)? Вы знаете?

[Hi4ko]

Вектор?

[Nimza]

Нет. Это матрица (матрица Якоби). Посмотрите где-нибудь про дифференцирование отображений $f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m$. Например, в английской википедии. Моя любимая книжка по анализу, в которой это есть, М. Спивак "Анализ на многообразиях".

[Hi4ko]

(Оффтоп)

Извините меня за мою математическую неграмотность, я в 11 классе просто, для интереса решил узнать, что такое Лагранжиан)

[Nimza]

Тогда Вы крутой. Советую в таком случае подход с матрицами. Там не надо дифференцировать вектор по вектору. Там надо продифференцировать скаляр $f(r)=r^T A^T A r$ по $r$. А чтобы здесь не столкнуться с дифференцированием вектора по вектору, это можно сделать по определению, а не по правилу дифференцирования произведения. Просто распишите $f(r+h)$ как $f(r)+a\cdot h + o(h)$, где $a$ --- постоянный вектор, $o(h)$ --- всё, что убывает "быстрее", чем $C|h|$ при $h \to 0$. Тогда $a$ будет искомой производной (градиентом). В случае с данной $f$ это делается очень легко (в одну строчку).

[Hi4ko]

Я только что посмотрел в другом источнике эту же задачу, но здесь она решена через координаты, но всё равно спасибо Вам за помощь)

[AKM]

Hi4ko,

нет никакой нужды мусорить целиком цитировать предыдущее сообщение!
Кое-где удалил, дальше удалите сами цитаты-дубликаты.