Допустимы ли подобные методы доказательства

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! Сегодня возникла идея, которая станет понятна из примера.
Вот задача из Прасолова "Задачи по планиметрии" М,2006 №5.16

В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ наименьшая. На лучах $BA$ и $CA$ отложены отрезки $BD$ и $CE$, равные $BC$. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника $ADE$ равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$.

Не буду описывать пока ход решения, которое я попытался провести (оно отлично от решения учебника; пока ещё не получилось). Скажу лишь, что мне удалось найти метод, которым можно связать длины отрезков $AB$, $BI$, $AI$ и $DE$. (Он нетрудный, причём стороны треугольника $ABC$ здесь не задействованы).

Я пришёл к выводу, что должно выполняться соотношение $\frac{DE^2}{AB^2}=\frac{R-2r}{4R}$. Стоп. Уже здесь. Можно ли доказывать через "должно выполняться"? Т.е. мы берём утверждение задачи и предполагаем, что оно верно; мне кажется, что тогда придётся доказывать ещё и обратное. Может, в планиметрии так иногда можно?.

Дальше. Выражаем $R$ и $r$ через $AB$, $BI$, $AI$. У нас получится выражение, не зависящее ни от одной переменной. Получаем требование доказать тождество. Ещё раз стоп. Можно ли так доказывать?

Вот два метода, в которых я сомневаюсь.

С уважением, Николай

Модератору! По тематике вроде этот раздел, но задача олимпиадная. Можете перенести туда.

[iifat]

Странно как-то сформулировано.

Nikolai Moskvitin в сообщении #718764 писал(а):

Я пришёл к выводу, что должно выполняться соотношение

Не очень понял, кому именно оно это должно. Если вам для доказательства необходимо это утверждение, можете использовать -- но потом доказать.

Nikolai Moskvitin в сообщении #718764 писал(а):

У нас получится выражение, не зависящее ни от одной переменной

Это называется константа. А откуда тождество?
В общем, либо доказательство — пускай неправильное, пускай неполное, либо никаких разумных советов вряд ли получится.

[Nikolai Moskvitin]

iifat в сообщении #718797 писал(а):

Не очень понял, кому именно оно это должно. Если вам для доказательства необходимо это утверждение, можете использовать -- но потом доказать.

Сейчас объясню. Это следствие из факта, который нужно доказать.
При этом- будьте внимательны!- я не использую этот факт явно. Я лишь подвожу следствия из других теорем и аксиом к этому равенству.

iifat в сообщении #718797 писал(а):

Это называется константа. А откуда тождество?

Сейчас тоже объясню. Это я хотел такой трюк проделать: сначала доказал, что та или иная величина может зависеть от трёх других, затем применил этой к ещё одной величине, и т.д.; а потом просто приравнял выражение для одной величины к выражению для другой. Таким образом, я использовал и имеющееся следствие из того, что надо доказать, и доказанные мною равенства. А вот как обосновать, что, наверное, такой трюк делать нельзя, совсем не знаю.

[Xaositect]

Плохо понятно.
Давайте полностью схему предполагаемого доказательства с пропуском недоказанных вещей в виде "вот тут мы из этого факта попробуем доказать вот этот"

[nnosipov]

Nikolai Moskvitin в сообщении #718764 писал(а):

Я пришёл к выводу, что должно выполняться соотношение $\frac{DE^2}{AB^2}=\frac{R-2r}{4R}$.

Ошиблись. Это равенство не выполняется.

[Nikolai Moskvitin]

Хорошо, уважаемый участник! Обязательно приложу чертёж.

1) Сначала выведем следствие из утверждения, которое нужно доказать. Обозначения будут те, которые были приведены в первом посте, новые буду вводить по ходу решения.
Вспомним, во первых, формулу Эйлера (для расст. между впис. и опис. окружностями треугольника): $d^2=R^2-2Rr$ (1),
где $d$- данное расстояние, а $R$ и $r$- радиусы описанной и вписанной окружности треугольника $ABC $соответственно.
Обозначим центр описанной окружности треугольника $CDE$--$K$. Пусть центры описанной и вписанной окружности треугольника $ABC$--$O$ и $I$ соответственно. Утверждение задачи: $CK=OI$.
По известной теореме,

$\frac{DE}{\sin{\angle{ECD}}}=2CK$. (2)

Но $\angle{DCE}=\angle{BCA}$, значит,

$\frac{AB}{\sin{\angle{DCE}}}=2R$ (3).

Итак: $\frac{(DE^2)(4R^2)}{AB^2}=R^2-2Rr (4).

Сокращаем в обеих частях R и получаем после перенесения множителей удобную формулу:
$\frac{DE^2}{AB^2}=\frac{R-2r}{4R}$ (5)

Теперь приступим доказательству. Обозначим середины отрезков $BE$ и $AD$ как $K$ и $L$ соответственно, а пересечения прямой $KL$ и стороны $AC$ как $B_0$.





2) По теореме о вписанном угле, точки $A$, $B$, $K$, $L$ лежат на одной окружности. Тогда $\angle{BAK}=\angle{BLK}$, а так как луч $AK$ содержит биссектрис угла $A$, то точки $A$, $I$, $K$, $B_0$ лежат на одной окружности. Точки $B_0$, $I$, $K$, $E$ также лежат на одной окружности (так как $IK$ перпендикулярен $AC$). Поэтому $\angle{IAL}=\angle{IB_0K}=\angle{IEK}$. Так как треугольники $ABD$ и $BAE$- равнобедренные и прямые $AK$ и $BL$ являются осями их симметрии, треугольники $AID$ и $BIE$ подобны по первому признаку. Тогда по трём из величин $AI$, $BI$, $BE$ и $AD$ можно узнать четвёртую. "Сделаем известной" $BE$ (иными словами, просто выразим её через три другие указанные величины). Если применить теорему Пифагора к треугольнику $IBK$, то можно легко найти AB.

3) Вот тот самый трюк: $AB$ можно выразить через $BE$, $AI$ и $BI$. Тогда $BE$, в свою очередь, можно выразить через $AB$, $AI$ и $BI$.
Есть все данные для нахождения $DE$. Итак, с помощью трёх величин ($AB$, $AI$, $BI$) удалось выразить длину $DE$. Вернёмся к формуле (5). Стороны треугольника $ABI$ можно выразить через стороны треугольника $ABC$. Значит, возможна обратная операция. С другой стороны, радиусы вписанной и описанной окружностей тоже можно выразить через стороны треугольника $ABC$. Значит, их можно выразить и через стороны треугольника $ABI$. Подставляем все полученные выражения в равенство (5) и получаем тождество, которое надо доказать.

-- 02.05.2013, 19:35 --

nnosipov в сообщении #718834 писал(а):

Ошиблись. Это равенство не выполняется.

Я мог коэффициенты перепутать, поэтому см. мой следующий пост. Если что, поправите меня. Я перепутал буквы! Тогда см. чертёж и всё после него рассматривайте относит. чертежа До него давайте тоже. Ничего уже не поделаешь.

[nnosipov]

Nikolai Moskvitin в сообщении #718851 писал(а):

Я перепутал буквы!

Возможно, но равенство (5) как было неверным, так и осталось (в обозначениях задачи из Прасолова).

[Nikolai Moskvitin]

где ж ошибка-то?

[nnosipov]

Nikolai Moskvitin в сообщении #718877 писал(а):

где ж ошибка-то?

Не знаю, найдите сами. Нарисуйте картинку в геогебре, посмотрите повнимательней.

[Nikolai Moskvitin]

Нашёл! Я недомножил правую часть равенства (4) на 4. Спасибо, nnosipov, за терпение!