Функциональное уравнение

[sopor]

Зная, что $\forall x, y \in \mathbb R f (x+y)=f (x)+f (y)+80xy$ и что $f (1/4)=2$ найдите $f (4/5)$

[TOTAL]

Найдем $f(10/5)$, затем из трех уравнений для $f(2/5), f(8/5), f(4/5)$ найдем $f(4/5).$

[iifat]

Как вариант: $\frac{f(x+y)-f(x)}y=\frac{f(y)}y+80x$. Устремляя $y$ к нулю, получаем (в предположении дифференцируемости в нуле) $f '=f'(0)+80x$, $f(x)=40x^2+C_1x+C_2$. Подставляя в исходное, находим $C_2=0$, подставляем $\frac14$ -- находим $C_1$.

[hippie]

$f(t)=40t^2-2t,$ при всех рациональных $t.$

[Alexander Evnin]

Замена $f(x)=g(x)+40x^2$ сводит всё к уравнению $g(x+y)=g(x)+g(y)$, про которое достаточно много известно.