Задача с потерянным доказательством...подсказки нет нигде!

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! Предлагаю Вашему вниманию свою задачу по планиметрии, у которой потеряно доказательство утверждения её условия. Я сам не помню, как решать, помню только, что сложная, интересная, но бедная геометрическими фактами, на которые опиралось её решение. Чертёж поленился сделать, но, если попросят, всё же сделаю.

Итак, условие:

Условие: треугольник $ABC$, середина $AC$-$D$, через $B$ проведена прямая $l$, образующая со сторонами $AB$ и $BC$ равные углы; серединный перпендикуляр к $AC$ продолжен до пересечения с $l$ в точке $E$. Центр описанной окружности треугольника $ABC$--$O$. Около треугольников $ABD$ и $BDC$ описаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, прямые $AO_1$ и $CO_2$ пересекаются в точке $K$. Прямые $AE$ и $CO_2$ пересекаются в точке $F$, серединный перпендикуляр к отрезку $AE$ пересекает отрезок $AK$ в точке $L$, отрезок $EL$ продолжен до пересечения с отрезком $AO$ в точке $H$.

Доказать: углы $AKH$ и $EOF$ равны.

ps Насчёт чертежа не издеваюсь, просто его трудно сделать. Если в условии заменить слово "треугольник" на слова "правильный треугольник", то углы $AKH$ и $EOF$ окажутся равны 0 градусов.

С уважением, Николай

[Nikolai Moskvitin]

Такая вот красота! :)

[provincialka]

От чертежа толку мало, там не разберешься. Возникают некотрые вопросы.
1. "Прямая, образующая равные углы со сторонами" - это, видимо, биссектриса? Или под "сторонами" надо понимть не отрезки, а прямые (тогда может быть биссектира внешнего угла треугольника).
2. Если я правильно разобрала, у вас биссектриса проходит через точку $O$? Это неверно, биссектриса пересекат серединный перпендикуляр в точке, лежащей на описанной окружности. Эта точка делит дугу $AC$ пополам.

Соответственно не надо рисовать на чертеже серединный перпендикуляр и биссектрису. Лучше нарисуйте описанную окружность, на ней точка $E$ находится легко.

Не уверена, но мне показалось, что $K$ тоже лежит на описанной окружности. Попробуйте это доказать.

Дальше пока не разбиралась - давайте исследуем сначала этот этап.

[nnosipov]

Nikolai Moskvitin в сообщении #717904 писал(а):

Итак, условие:

Условие: треугольник $ABC$, середина $AC$-$D$, через $B$ проведена прямая $l$, образующая со сторонами $AB$ и $BC$ равные углы; серединный перпендикуляр к $AC$ продолжен до пересечения с $l$ в точке $E$. Центр описанной окружности треугольника $ABC$--$O$. Около треугольников $ABD$ и $BDC$ описаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, прямые $AO_1$ и $CO_2$ пересекаются в точке $K$. Прямые $AE$ и $CO_2$ пересекаются в точке $F$, серединный перпендикуляр к отрезку $AE$ пересекает отрезок $AK$ в точке $L$, отрезок $EL$ продолжен до пересечения с отрезком $AO$ в точке $H$.

Доказать: углы $AKH$ и $EOF$ равны.

Это, похоже, просто неверно. Проверьте ещё раз условие.

[provincialka]

Точка $L$ построенная по условию, отнюдь не лежит на $ AK$, а уходит далеко за границу чертежа. Значит, либо надо подбирать удачный исходный треугольник, либо в условии опечатка.

И вообще, задача "накрученная", скучная и совсем не олимпиадная (в таком виде)

[Nikolai Moskvitin]

provincialka в сообщении #718128 писал(а):

Соответственно не надо рисовать на чертеже серединный перпендикуляр и биссектрису. Лучше нарисуйте описанную окружность, на ней точка $E$ находится легко.

Не уверена, но мне показалось, что $K$ тоже лежит на описанной окружности. Попробуйте это доказать.

Доказательство этого у меня есть. Если ошибка и есть, то, боюсь, я не смогу обосновать её наличие... Я всегда шутил в таких случаях, что доказать неверность факта утверждения условия- тоже интересная задача! :))))))))
Ну а "неинтересность" исчезнет тогда, когда Вы поверите в задачу. Посмотрел на чертёж--это точка P ушла в бесконечность (улетая туда, видимо, боясь быть в таком сложном мире :))))))))))...), а L вроде стоит правильно.

nnosipov в сообщении #718150 писал(а):

Nikolai Moskvitin в сообщении #717904 писал(а):
Итак, условие:

Условие: треугольник $ABC$, середина $AC$-$D$, через $B$ проведена прямая $l$, образующая со сторонами $AB$ и $BC$ равные углы; серединный перпендикуляр к $AC$ продолжен до пересечения с $l$ в точке $E$. Центр описанной окружности треугольника $ABC$--$O$. Около треугольников $ABD$ и $BDC$ описаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, прямые $AO_1$ и $CO_2$ пересекаются в точке $K$. Прямые $AE$ и $CO_2$ пересекаются в точке $F$, серединный перпендикуляр к отрезку $AE$ пересекает отрезок $AK$ в точке $L$, отрезок $EL$ продолжен до пересечения с отрезком $AO$ в точке $H$.

Доказать: углы $AKH$ и $EOF$ равны.
Это, похоже, просто неверно. Проверьте ещё раз условие.

nnosipov просто молодец, у него, наверное, отличный глазомер или мощнейший транспортир...В общем, ему спецзадание: опровергнуть! А если времени нет, то просто полюбоваться чертежом...зелёный здесь отмечает отношение равенства, но с таким же успехом он мог бы отмечать отношение порядка :))

[nnosipov]

Nikolai Moskvitin в сообщении #718195 писал(а):

nnosipov просто молодец, у него, наверное, отличный глазомер или мощнейший транспортир...В общем, ему спецзадание: опровергнуть!

Опровергать подобного рода геометрические гипотезы рационального типа (или доказывать их, если они верны) не составляет никакого труда --- для этого используют системы компьютерной алгебры. У меня было свободных пять минут, и я не поленился вбить последовательность построений из условия задачи (просто было любопытно узнать, врёте Вы или нет). Если я не ошибся при вводе данных, то ответ отрицательный --- Ваша утверждение о равенстве углов $AKH$ и $EOF$ в случае произвольного треугольника $ABC$ неверно (при этом неважно, о какой биссектрисе угла $B$ идёт речь --- внутренней или внешней). Перепроверять свои вычисления мне откровенно лень, да и времени жалко. На данный момент статус Вашей задачи: сомнительна.

[Nikolai Moskvitin]

спасибо! Я Вам охотно верю (всё-таки гораздо вероятнее, что ошибся человек, а не компьютер)! Слава Богу, не придётся решать! Кстати...nnosipov, что Вы можете посоветовать тем, кто ещё незнаком с упоминавшимися Вами системами?
Всего доброго!

[nnosipov]

Nikolai Moskvitin в сообщении #718263 писал(а):

nnosipov, что Вы можете посоветовать тем, кто ещё незнаком с упоминавшимися Вами системами?

Познакомиться: скачать с rutracker.org какой-нибудь Maple, установить его и попробовать что-нибудь вычислить в символьном виде. Современные студенты/школьники уже давно используют вместо калькуляторов системы компьютерной алгебры.

[provincialka]

Nikolai Moskvitin в сообщении #718195 писал(а):

Я: Не уверена, но мне показалось, что тоже лежит на описанной окружности. Попробуйте это доказать.
Nikolai Moskvitin:
Доказательство этого у меня есть. Если ошибка и есть, то, боюсь, я не смогу обосновать её наличие...

Тогда уберите чертеж. Если я правильно прочитала названия точек, он никуда не годится!

[Nikolai Moskvitin]

Да я бы и убрал...только не знаю, как! :) Подскажите, пожалуйста!

[arqady]

nnosipov в сообщении #718250 писал(а):

У меня было свободных пять минут, и я не поленился вбить последовательность построений из условия задачи

Я Вам завидую белой завистью. У меня подобные опровержения занимают кучу времени, а так иногда хочется и оставлять просто так влом, так как видно же, что бред. Так что спасибо Вам!

[Nikolai Moskvitin]

arqady в сообщении #718308 писал(а):

видно же, что бред

Бред-это всё-таки очевидная глупость! :)))))))))))Бред, кроме того-это что-то бессвязное:))))))))))))))

[provincialka]

Nikolai Moskvitin в сообщении #718321 писал(а):

arqady в сообщении #718308 писал(а):

видно же, что бред

Бред-это всё-таки очевидная глупость! :)))))))))))Бред, кроме того-это что-то бессвязное:))))))))))))))

Нет, не бред! Может, там какие-нибудь обозначения перпутались?

-- 01.05.2013, 17:09 --

(Оффтоп)

Nikolai Moskvitin в сообщении #718288 писал(а):

Да я бы и убрал...только не знаю, как! :) Подскажите, пожалуйста!

Ну, это не ко мне (посмотрите на даты появления меня и вас ) . Обратитесь к модераторам.

[_Ivana]

nnosipov в сообщении #718250 писал(а):

У меня было свободных пять минут, и я не поленился вбить последовательность построений из условия задачи (просто было любопытно узнать, врёте Вы или нет). Если я не ошибся при вводе данных, то ответ отрицательный --- Ваша утверждение о равенстве углов и в случае произвольного треугольника неверно

+1. Сразу после возникновения стартового поста вбил условия в геогебру, подвигал точки, убедился в неравенстве углов и решил не писать в тему свои впечатления. Полностью согласен, что

Цитата:

задача "накрученная", скучная