Обратные тригонометрические функции

[violets]

Здравствуйте! Имеется такая задачка: надо посчитать $\cos(\arcctg(-2))$
Я рассуждала так. Пусть $y=\arcctg(-2)$, причем $y\in\(0, \pi)$ и $\ctg(y) = - 2$. Значит, раз котангенс отрицательный, то будем рассматривать только 2-ую четверть $(\pi/2, \pi)$. В результате вычислений получим $\cos(y) = ±2/\surd5$. Подходит отрицательный корень.

Но есть другой ход рассуждений.
$\arcctg(-2) = \arctg(-0,5) = - \arctg(0,5)$
Далее $\cos(-\arctg(0,5)) = \cos(\arctg(0,5))$
Пусть $\arctg(0,5)=y$, где $y\in\(-\pi/2, \pi/2)$ и $\tg(y)=0,5$. Из того, что тангенс положительный, будем рассматривать первую четверть, т.е. $y\in\(0, \pi/2)$. Тогда получится точно такой же ответ на косинус по модулю, но положительный.

Я не понимаю. В чем я не права? Можно ли вот так просто заменять арккотангенс на арктангенс? В сборнике задач ответ дан отрицательный ($ -2/\surd5$), но если решать вторым способом, то ответ получается положительный. Кроме того, вольфрам дает положительный ответ. В чем загвоздка?

Кривовато формулы вышли, знаю, оправдания мне нет, кроме как "старалась, как могла". Надеюсь на понимание, спасибо.

[Ms-dos4]

Вообще то
$\[{\mathop{\rm arcctg}\nolimits} (x) = \left\{ \begin{array}{l} {\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\frac{1}{x}),x > 0\\ {\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\frac{1}{x}) + \pi ,x < 0 \end{array} \right.\]$

[violets]

Ms-dos4
Все, понятно. Спасибо!

[ewert]

Это ещё вопрос, что такое арккотангенс. "Тут и в прессе есть \\ Расхождения; \\ И вообще идут \\ Толки разные... \\ Вот и вникните \\ В положение -- \\ Исключительно \\ Безобразное!"

Т.е. это полнейшее безобразие -- давать задачки на арккотангенсы.

[violets]

ewert
Сборник задач не я составляла...
Простите, если вопрос глупый. А почему безобразие?

[ewert]

violets в сообщении #717651 писал(а):

А почему безобразие?

Потому, что арккотангенс (в отличие от арксинуса, арккосинуса и арктангенса -- штука весьма двусмысленная (и я там даже процитировал на этот счёт). Поэтому упоминать его даже в научных текстах несколько неприлично, не говоря уж об учебных задачках.

[iifat]

Мнэээ... А можно таки узнать, чем же именно арккотангенс не угодил благородному дону? Да ещё и

ewert в сообщении #717990 писал(а):

в отличие от арксинуса, арккосинуса и арктангенса

? Штука, согласен, даже не дву-, а бесконечносмысленная. В точности как и вышеперечисленные товарищи.
Касательно задачи -- вот тут, по-моему, ошибка:

violets в сообщении #717412 писал(а):

Подходит отрицательный корень

-- $\ctg(\alpha+\pi)=\ctg\alpha$, в то время как синус/косинус меняют знак. Отсюда ясно, что по котангенсу (как и по тангенсу, например, против коего ewert ничего не имеет), косинус можно узнать только с точностью до знака.

[ewert]

iifat в сообщении #718045 писал(а):

В точности как и вышеперечисленные товарищи.

Да вот нет, в точности не в точности. Если те три функции все понимают одинаково, то про арккотангенс вот что думает, скажем, вольфрам:


http://mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html

Причина в сочетании нечётности арккотангенса с его разрывностью в нуле, из-за чего есть два достаточно естественных способа выбора его главного значения. Поэтому употреблять эту функцию неприлично.

[provincialka]

ewert, а может, это Вольфрамом пользоваться неприлично?

[SpBTimes]

ewert
Но ведь для арккотангенса и выделяют непрерывную область - $(0; \pi)$. Ну а там разрывы, да - и что?

[ewert]

provincialka в сообщении #718114 писал(а):

может, это Вольфрамом пользоваться неприлично?

Лет двадцать назад Вы были бы правы, сегодня же такая постановка вопроса бессмысленна. Дело ведь не в вольфраме лично, а в отличии нашей традиции от вражеской. Пакеты же сегодня у нас исключительно вражеские. Поэтому наиболее разумный подход -- просто отказаться от двусмысленных понятий, благо в данном случае от этого никаких потерь.

-- Ср май 01, 2013 10:56:05 --

SpBTimes в сообщении #718117 писал(а):

Но ведь для арккотангенса и выделяют непрерывную область

Это у нас её выделяют, и это естественно. А у них для обращения выбирают другой участок взаимной однозначности -- симметричный, и это не менее естественно, т.к. позволяет сохранить нечётность, пусть хоть в принципе.

С остальными тремя функциями подобных дилемм не возникает: у синуса и тангенса нечётность не противоречит непрерывности, а чётность косинуса всё равно ни в каком смысле при обращении не сохраняется.

[Nacuott]

SpBTimes в сообщении #718117 писал(а):

ewert
Но ведь для арккотангенса и выделяют непрерывную область - $(0; \pi)$. Ну а там разрывы, да - и что?

Для главного значения арктангенса выделяют - $(-\pi/2; \pi/2)$ и там он непрерывен.

[SpBTimes]

Nacuott
а писал про арккотангенс
А про "там" - имелись в виду концы

-- Ср май 01, 2013 10:00:19 --

ewert в сообщении #718119 писал(а):

т.к. позволяет сохранить нечётность, пусть хоть в принципе

А зачем она сдалась?

[Munin]

violets в сообщении #717412 писал(а):

Кривовато формулы вышли, знаю, оправдания мне нет, кроме как "старалась, как могла". Надеюсь на понимание, спасибо.

С формулами всё нормально, кроме пары пропущенных скобок (если писать \( - то скобка ставиться не будет), и квадратного корня. Квадратный корень пишется так: \sqrt{5} - будет $\sqrt{5}.$

ewert
А в чём, собственно, дело? Есть две функции, $\arcctg x$ и $\cot^{-1} x.$ Ну различаются, ну и что? По обозначению всё ясно. Мы же $\arcctg x$ и $\operatorname{Arcctg} z$ не путаем.

[ewert]

Munin в сообщении #718133 писал(а):

Есть две функции, $\arcctg x$ и $\cot^{-1} x.$ Ну различаются, ну и что?

Есть две функции, $\arctg x$ и $\tan^{-1} x.$ Ну различаются, ну и что?