Есть куб

на

, центральная ячейка которого - пустая, а во всех остальных расставлены числа от 1 до 26. Можно передвигать числа в соседнюю по грани ячейку, если она пустая. Можно ли, вообще говоря, поменять местами все

и

, попросту говоря разбить числа на пары и поменять местами каждую?
Ответ: нельзя (любое такое преобразование выполнить нельзя)
В результате передвижения кубиков в центре должен остаться пустой кубик

. Множество передвижений кубиков, сохраняющий

в центре - группа

.

- подгруппа группы перестановок

. Если искомое преобразование существует, то оно принадлежит группе

. Найдем базис группы

.
Каждой последовательности перестановок кубика с пустым кубиком

взаимно однозначно соответствует путь

в графе

куба

. Значит

- гомоморфный образ группы путей

кубика

в

. Известен простой способ вычисления базиса группы путей в графе - надо выбрать произвольное остовное дерево

и построить все приведенные пути, содержащие в себе ровно одно ребро из

(если

- множество ребер

,

- множество вершин, то мощность базиса равна

а

- число вершин без единицы. Получается, что дерево имеет

ребер, всего ребер

, значит базис

имеет

элементов). Выберем удобное дерево: составим его из всех горизонтальных ребер, всех вертикальных ребер среднего слоя и одного глубинного ребра среднего слоя. Теперь, если охота, можно пронумеровать вершины

и вычислить базис

группы

явно.

(Оффтоп)
не очень хорошо получилось...
Попытаемся определить четность элементов

. Пусть

- некий путь

в графе, проходящий через ребра

и содержащий только одно ребро из

. Каждому замкнутому пути

по

в одну сторону соответствует циклический сдвиг всех чисел, лежащих в

на единицу пути в противоположную сторону (причем циклический сдвиг происходит в пути, получаемом выбрасыванием

из

). Даже точнее путь имеет вид петли с хвостиком - перестановка происходит в петле, а в хвостике все остается на месте. Значит, перестановка

, определяемая путем

, - это некий цикл. Далее, заметим, что длина

всегда четна (разложим по базису, сколько раз шли влево, столько же идем вправо; сколько раз шли вверх, столько же идем вниз и т.п.). Значит

всегда содержит нечетное число элементов (точнее длина

- это длина цикла минус один минус удвоенное число ребер в хвостике). Но любая циклическая перестановка нечетной длины четна (можно явно ее представить в виде произведения транспозиций). Значит все элементы

- четные перестановки, значит

- подгруппа

.
Ну и наконец, в задаче требуется осуществить перестановки

пар элементов.

- нечетное число, значит искомая подстановка - нечетна, а значит она не лежит в

.
Maximpg, спасибо за задачу!
Сейчас попробую картинки добавить.