Определенный интеграл

[Lion]

Подскажите, пожалуйста, как можно (если вообще можно!) вычислить следующий интеграл:

$$\int\limits_{0}^{\pi/2}\sqrt{\frac{\tg^2x+p^2}{\tg^2x+q^2}}dx.$$

[Someone]

Через эллиптические интегралы должен выражаться.

[Asalex]

Сделай замену:

$$y=\sqrt \frac {\ tg^2 x+p^2} {\tg^2 x+q^2}$$

У тебя получится интеграл

$$ \ 2(q^2-p^2)\int_{\frac {\ p}{\ q}}^{1} \frac { y^2 dy} {(1-y^2)^2+(y^2 q^2 -p^2)^2}$$

А это интеграл от рациональной функции. Раскладываешь на простейшие дроби и интегрируешь.[/math]

[Lion]

Спасибо, сейчас попробую досчитать.

[Someone]

Нет, не может тут интеграл от рациональной функции получиться. У меня получается

$$|q^2-p^2|\int\limits_{\left|\frac pq\right|}^1\frac{y^2dy}{(1-p^2-(1-q^2)y^2)\sqrt{(p^2-q^2y^2)(y^2-1)}}\text{.}$$

Кстати, если сделать замену $\tg x=t$, то получится

$$\int\limits_0^{+\infty}\sqrt{\frac{t^2+p^2}{t^2+q^2}}\frac{dt}{t^2+1}=\int\limits_0^{+\infty}\frac{(t^2+p^2)dt}{(t^2+1)\sqrt{(t^2+p^2)(t^2+q^2)}}\text{.}$$

И то, и другое выражается через эллиптические интегралы. Но попотеть ещё придётся.

Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. "Наука", Москва, 1969.