2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Аппроксимация неберущегося интеграла (z=f(x,y))
Сообщение28.04.2013, 20:00 
Аватара пользователя


13/07/09
19
Добрый день
Нужен совет.
У меня при вычислениях возникает интеграл $$I(a,b) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{\infty} \frac{e^{-x^2/2}}{x+b} dx$$
Он неберущийся, более того, он считается достаточно медленно. А для мне его надо сделать быстровычисляемым.
Это нужно для того чтобы использовать $I(a,b)$ в задаче оптимизации, когда придется многократно вызывать функцию $I(a,b)$. Поэтому по возможности функция должна быть компактной и быстровычисляемой.

Вид функции для логарифмических осей X и Y следующий:
Изображение
Насколько я понимаю, тут нужна аппроксимация.
В случае функции одной переменной хороший (если не лучший) вариант - минимаксная аппроксимация, для повышенной точности обычно делят на отрезки ось x и аппроксимируют уже. Во всяком случае я видел реализацию экспоненциального интеграла $Ei(x)$ в пакете ALGLIB именно так реализованную и там достигалась точность $10^{-16}$

В случае двух переменных я нашел, что общепризнаны только кубические сплайны, но так получается невысокая точность при умеренном размере функции, либо высокая точность при большом размере функции (мелкая сетка и куча хранимых сплайнов)

Как оптимально реализовать подобную функцию?
Требуемая точность $10^{-6}$, а желательно $10^{-12}$

Массив уже вычисленных точек для логарифмических осей X и Y текстовый файл.zip

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация неберущегося интеграла (z=f(x,y))
Сообщение28.04.2013, 22:05 


05/09/12
2432
Имхи вперемешку с вопросами:
1) Для ясности лучше сразу задавать нужные буквы переменных, а то переход от $a, b , x$ к $x, y, z$ вы оставляете на долю читающего.
2) Каковы интересующие вас границы аргументов для аппроксимируемой функции?
3) В случае двух переменных также можно использовать сплайны любого порядка. Плюс, можно заранее рассчитать их коэффициенты для каждой ячейки (если требуется скорость) или же рассчитывать по значениям таблицы (если минимизировать объем хранимых данных). Кстати, сетку лучше сделать неравномерной (продумать изменение шага), чтобы ваши Е-295 вообще не упоминались, а нужные области дисктеризировались подробнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация неберущегося интеграла (z=f(x,y))
Сообщение28.04.2013, 22:47 
Аватара пользователя


13/07/09
19
1) При построении графика были взяты логарифмические оси
$\ln(a) \to x$ ;
$\ln(b) \to y$ ;
$I(a,b) \to z$

Это позволило получить плоские наклонные стороны. Там действительно плоские поверхности, может это можно как-то использовать?


2) $x \in (-\infty;\infty)$, $y \in (-\infty;\infty)$
судя по графику функция монотонно убывающая

3) как я понимаю сетка все равно должна оставаться прямоугольной? сложно будет с "горбом", там все равно должна быть мелкая сетка. В принципе я и так сделал динамическую сетку (при логарифмических осях сетка равномерная), которая меняется от 4,5E-5 до 2,2E+4 (логарифмы меняются от -10 до 10)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group