Является ли функция характеристической?

[agragr]

Является ли функция $f(t) = e^\frac{-t^2}{2+t^2}$ характеристической?

Следующие свойства характеристических функций выполняются: $|f(t)| \leq 1$, $f(0)=1$, $f(t)$ равномерно непрерывна, $f(-t)=\overline{(f(t))}$.
$f \notin L_1$, поэтому нельзя воспользоваться выражением плотности распределения через х. ф.

Не удается привести пример случайной величины с такой характеристической функцией или найти свойство х. ф., которое не выполняется.

[--mS--]

Воспользуйтесь тем свойством, что если $\varphi(t)$ - характеристическая функция, то $e^{\varphi(t)-1}$ - тоже х.ф. Ну и приведите к такому виду эту характеристическую функцию.

[agragr]

--mS--, да, из этого свойства сразу получается, что функция $f(t)=e^\frac{-t^2}{2+t^2}=e^{\frac{2}{2+t^2}-1}$ - характеристическая, т. к. функция $2/(2+t^2)$ - характеристическая.
А как получается такое свойство, или где про это можно прочитать?

[--mS--]

Получается разложением экспоненты в ряд и указанием случайной величины, чья х.ф. есть этот ряд. Или её распределения.

Если $\varphi_1(t)$ и $\varphi_2(t)$ - х.ф. случайных величин $\xi_1$ и $\xi_2$ соответственно, можете доказать, что $\alpha\varphi_1(t)+(1-\alpha)\varphi_2(t)$ (где $0<\alpha<1$) - тоже х.ф.?

[agragr]

$\alpha\varphi_1(t)+(1-\alpha)\varphi_2(t)$ - х. ф. случайной величины с распределением $\alpha F_{\xi_1} + (1-\alpha)F_{\xi_2$}.

[--mS--]

Ну вот, и для разложения экспоненты в ряд то же самое.

[agragr]

Для ряда будет случайная величина с функцией распределения $\frac{1}{e}(F_\eta + \frac{F_{\xi_1}}{1!} + \frac{F_{\xi_1 + \xi_2}}{2!} + \frac{F_{\xi_1+\xi_2+\xi_3}}{3!} + ... )$? ($P(\eta = 0) = 1$, $\xi_i$ независимы и имеют распределение $F_\xi$, где $\xi$ - случайная величина, характеристической функцией которого является $\varphi(t)$.)

[--mS--]

Да, конечно.

[agragr]

Спасибо!