Разбиение множества простых чисел на два подмножества

[TOTAL]

vorvalm в сообщении #716725 писал(а):

Что тут непонятного ?

Какое отношение к задаче это имеет, зачем на это обращать внимание?

[vorvalm]

Был задан вопрос. Я на него ответил. Вот и все.

[TOTAL]

vorvalm в сообщении #716738 писал(а):

Был задан вопрос. Я на него ответил. Вот и все.

Я такого вопроса не замечаю в топике. А вот такой вопрос был:

Ms-dos4 в сообщении #716681 писал(а):

P.S. Неплохо бы доказать ваше утверждение, особенно по поводу оценки разности прогрессии.

В арифметической прогрессии из $N$ простых чисел разность не может быть меньше $K.$ Вас попросили дать и доказать такую оценку.

[RIP]

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #716380 писал(а):

Используя сначала теорему Грина-Тао мы показали, что существует сколь угодно длинная прогрессия из простых. Затем с помощью теоремы Ван-дер-Вардена было показано, что если прогрессия имеет длину 9 и более, то как бы мы не разбивали множество простых (а следственно как бы мы не разбивали прогрессию) всё равно в одном из множеств мы найдём прогрессию. И соответственно в одном из множеств найдётся число, являющееся средним арифметическим двух других.

Вообще-то, результат Грина–Тао сразу отвечает на поставленный вопрос (см. теорему 1.2). Более того, для нашей задачи достаточно теоремы Грина, которая, впрочем, появилась не сильно раньше.

[vorvalm]

Вопрос стоит не так.
В арифметической прогрессии из простых чисел число членов не может быть больше $K.$.
$K=\varphi(p_{k+1})=p_{k+1}-1$, если разность прогрессии $d=A\cdot p_k\#,\;(A,p_{k+1})=1.$
Действительно, простые числа прогрессии с разностью $d=A\cdot p_k\#$ представляют собой приведенную систему вычетов по модулю $p_{k+1}$,
т.е они взаимно простые и несравнимые по модулю.

[Ms-dos4]

Цитата:

Вообще-то, результат Грина–Тао сразу отвечает на поставленный вопрос (см. теорему 1.2). Более того, для нашей задачи достаточно теоремы Грина, которая, впрочем, появилась не сильно раньше.

Мой английский оставляет желать лучшего, не могли бы вы привести формулировку теоремы 1.2 на русском? Я считал, что теорема Грина-Тао применима ко всему множеству простых, а вот если мы его произвольным образом разобьем, то потребуется помощь теоремы Ван-дер-Вардена. Впрочем могу ошибаться.

vorvalm в сообщении #716855 писал(а):

Вопрос стоит не так.
В арифметической прогрессии из простых чисел число членов не может быть больше $K.$.
$K=\varphi(p_{k+1})=p_{k+1}-1$, если разность прогрессии $d=A\cdot p_k\#,\;(A,p_{k+1})=1.$
Действительно, простые числа прогрессии с разностью $d=A\cdot p_k\#$ представляют собой приведенную систему вычетов по модулю $p_{k+1}$,
т.е они взаимно простые и несравнимые по модулю.

А какое отношение это имеет к задаче, поставленной ТС?

[vorvalm]

Самое непосредственное.
Задача может быть решена в том случае, если разность прогрессии $d>5\#.$

[Ms-dos4]

vorvalm в сообщении #716888 писал(а):

Самое непосредственное.
Задача может быть решена в том случае, если разность прогрессии $d>5\#.$

А кто нибудь спрашивал про разности прогрессии? Задача была лишь установить существование.

[RIP]

Ms-dos4 в сообщении #716881 писал(а):

Мой английский оставляет желать лучшего, не могли бы вы привести формулировку теоремы 1.2 на русском?

Если $A$ — подмножество множества всех простых чисел с положительной верхней относительной плотностью, т.е. $\displaystyle\limsup_{N\to\infty}\frac{|A\cap[1,N]|}{\pi(N)}>0$ (здесь $|A\cap[1,N]|$ — это колво элементов множества $A$ на отрезке $[1,N]$, а $\pi(N)$ — колво простых чисел на том же отрезке), то $A$ содержит арифметические прогрессии сколь угодно большой длины.

Ms-dos4 в сообщении #716881 писал(а):

Я считал, что теорема Грина-Тао применима ко всему множеству простых

Да, обычно теоремой Грина–Тао называют именно этот результат (это теорема 1.1 из той же статьи).

[vorvalm]

Ms-dos4
ТС не возражает, да и другим, наверное, интересно.(кроме вас)

[Ms-dos4]

RIP
Благодарю, этой теоремы не знал.