Найти длину хорды.

[slider]

Треугольник $ABC$ вписан в окружность радиуса 5. В нем проведены высоты $AM$ и $CK$. Высота $BH$ равна 4, а угол $B$ равен $60^o$. Найти длину хорды этой окружности, проходящей через точки $M$ и $K$.

Что уже получилось: из теоремы синусов сразу находим, что $AC=5\sqrt{3}$. Обозначим $AB=a, BC=b$. Площадь равна половине произведения основания на высоту, а также половине произведения сторон на синус угла между ними, отсюда $ab=40$. Из теоремы косинусов находим $a+b=\sqrt{195}$. Один из углов треугольника, например, $C$, получается тупой.

Как решать дальше?

[provincialka]

Может, поможет то, что прямая $KM$ отрезает от треугольника $ABC$ подобный ему (только "перевернутый обратной стороной").

[slider]

Подобие будет в случае остроугольного треугольника. А в случае тупоугольного почему оно сохранится? И как тогда им воспользоваться?

[provincialka]

slider в сообщении #716072 писал(а):

Подобие будет в случае остроугольного треугольника. А в случае тупоугольного почему оно сохранится? И как тогда им воспользоваться?

А почему нет? Все пропорции те же. Разве что слово "отрезает" тут не подходит. Меньший треугольник пересечет больший.

Как воспользоваться? Ну, "поиграть" с углами как-нибудь. Например, точка $B$ будет лежать посередине между концами хорды (т.е. на середине дуги, а не отрезка).

(Оффтоп)

первым делом - выспаться.

[hippie]

Сразу можно найти углы $MAB$ и $KCB.$
Дальнейшее, надеюсь, понятно.

(Подсказка: условие $BH=4$ в решении никак не используется.)

[provincialka]

hippie в сообщении #716147 писал(а):

Сразу можно найти углы $MAB$ и $KCB.$
Дальнейшее, надеюсь, понятно.

(Подсказка: условие $BH=4$ в решении никак не используется.)

Как это не используется? Думаете, при любой высоте ответ будет одинаковый? Нет, это не так. Например, для правильного треугольника ответом будет ${5\sqrt{15}\over 2}$, а в нашей задаче отывет другой.

На самом деле искать стороны треугольников не надо. Надо воспользоваться подобием треугольников $ABC$ и $MBK$. Каков будет коэффициент подобия? Чему равна высота второго треугольника?

[hippie]

Согласен.
Я невнимательно прочитал условие, и искал длину не той хорды: проходящей не через основания высот, а через точки пересечения высот с окружностью.
(В этом случае находятся указанные мной вписанные углы, через них выражается угловая величина дуги, соединяемой хордой, и находится длина хорды: $d\, |\sin 2B|.$)

(Оффтоп)

Вы правильно написали "первым делом - выспаться".
Сейчас подумаю уже над правильным условием.

[Nacuott]

...

[provincialka]

Nacuott в сообщении #716473 писал(а):

...

Многозначительно...
Кстати, а где автор вопроса? Может, уже решил?

[Nacuott]

Вот картинка к задаче.Вот только точка К не принадлежит хорде т.е. хорда (согласно своему определению) через точку К не проходит.
Если эту неточность убрать, то задача имеет решение.Треугольник, изображенный на картинке, изображен в масштабе и соответствует условию
задачи.

[TOTAL]

Nacuott в сообщении #716598 писал(а):

Треугольник, изображенный на картинке, изображен в масштабе и соответствует условию
задачи.

Не соответствует, т.к. в задаче хорда проходит точки $M$ и $K$.

[Nacuott]

TOTAL в сообщении #716602 писал(а):

Nacuott в сообщении #716598 писал(а):

Треугольник, изображенный на картинке, изображен в масштабе и соответствует условию
задачи.

Не соответствует, т.к. в задаче хорда проходит точки $M$ и $K$.

Повторяю.Треугольник соответствует - задача сформулирована некорректно.

[TOTAL]

Nacuott в сообщении #716604 писал(а):

Повторяю.Треугольник соответствует - задача сформулирована некорректно.

От многократного повторения соответствие не возникает. В условии написано, что хорда проходит, да или нет?

[Nacuott]

TOTAL в сообщении #716605 писал(а):

Nacuott в сообщении #716604 писал(а):

Повторяю.Треугольник соответствует - задача сформулирована некорректно.

От многократного повторения соответствие не возникает. В условии написано, что хорда проходит, да или нет?

На заборе тоже много чего написано...

[_Ivana]

Цитата:

Вот картинка к задаче. Треугольник, изображенный на картинке, изображен в масштабе и соответствует условию задачи.

И все там соответствует условию и нормально однозначно решается. (Хотя я понимаю придирку Nacuott - полностью корректно было бы написать: длину хорды, образованной прямой, проходящей через точки М и К) Занятно, что при таком построении чертежа (точка В в верхней точке окружности) искомая хорда всегда горизонтальна.


ЗЫ ну а насчет метода решения - здесь регулярно возникают посты с такими геометрическими задачами, и я всегда рекомендую следующее - если задача навскидку простыми методами не решается, а спецтеоремы изучать лень, то вводите систему координат, записываете уравнения прямых, окружностей, перпендикуляров и т.п., находите координаты пересечения нужных кривых, записываете уравнения прямых, проходящих через них, вычисляете длини отрезков и т.д., пока не придете к ответу Согласен, порой бывает муторно, зато 100% надежно.