Радиолокационное расстояние ускоренного наблюдателя

[Алия87]

Радиолокационное расстояние ускоренного наблюдателя в плоском пространстве-времени.

Скорость света равна единице.
$\tau$ – время по часам равноускоренного наблюдателя Саша, с собственным ускорением $a$.
$t$ – время по часам инерциального наблюдателя Миша, скорость которого такова, что в некоторый момент времени он мгновенно покоится относительно Саши (событие М). То есть, ускоренный наблюдатель Саша в некоторый момент времени имеет такую же скорость, как и инерциальный наблюдатель Миша. И если бы ускоренный наблюдатель мгновенно прекратил своё ускорение, то он так бы и остался рядом и вместе с инерциальным наблюдателем. Когда Саша и Миша относительно друг друга неподвижны (событие М), расстояние измеренное Мишей между событиями М и С, должно совпадать с расстоянием между этими же событиями измеренными Сашей, так как Миша и Саша на этот момент “совпадали” друг с другом.



Инерциальный Миша определяет расстояние до события C (отражение сигнала) радарным способом. Расстояние до события С на момент времени $t_M$ равно $|MC|=|MB|=|AM|=\frac{|AB|}{2}$, т.е. расстояние равно $\frac{t_B-t_A}{2}$, где $t_A$ – посылка сигнала, $t_B$ – приём отражённого сигнала, $t_M$ – момент времени для которого будет определённо расстояние до события С.
Равноускоренному Саше, чтобы определить расстояние до события С на момент времени $\tau_M$ по своим часам, необходимо послать сигнал в момент $\tau_D$ и получить отражённый сигнал в момент $\tau_E$. Так как события это точки, которые никуда не двигаются по отношению к кому либо, то по аналогии с инерциальным Мишей и как видно из рисунка (из соображений симметрий), промежуток времени $\Delta \tau_{ME}$ равен $\Delta \tau_{DM}$ и равно половине промежутка времени $\Delta \tau_{DE}$.
То есть, Саша послав сигнал в момент $ \tau_D$ и получив отражённый сигнал в момент $\tau_E$ сможет определить расстояние до события С на момент $\tau_M=\frac{\tau_E-\tau_D}{2}$ и которое должно быть таким же, как и у Миши. $|MC|=|MB|=|MG|+|GB|$, причём $|GB|=GE|$ и поэтому $|MC|=|MG|+|GE|$

Время $t$ и расстояние $x$ инерциального наблюдателя связаны с временем равноускоренного наблюдателя собственным ускорением $a$

$t=\frac{1}{a} sh(a\tau), \ \ x=\frac{1}{a} ch(a\tau) $

получается

$|MG|=\frac{1}{a} sh(a\Delta \tau_{ME})$

$|GE|=\frac{1}{a}\ ch(a\Delta \tau_{ME}) -\ \frac{1}{a}$

$|MC|= \frac{1}{a}\ sh(a\Delta \tau_{ME})+\frac{1}{a}\ ch(a\Delta \tau_{ME}) -\ \frac{1}{a}=\\ \\=\frac{1}{a}( sh(a\Delta \tau_{ME})+ ch(a\Delta \tau_{ME})-1)=\frac{1}{a} ( e^{a\Delta \tau_{ME}}-1)$

Если $\Delta \tau$ это половина промежутка времени между отправкой и приёмом отражённого сигнала по часам равноускоренного наблюдателя, то расстояние до события (отражение)

$\frac{1}{a} (e^{a\Delta \tau}-1)$



Это было нахождения расстояния до событий расположенных правее мировой равноускоренного наблюдателя, т.е. в направлении ускорения.

Нахождения расстояния до событий расположенных левее мировой равноускоренного наблюдателя, т.е в направлении противоположном направлению ускорения, будет вычисляться иначе. Здесь понадобится помощь третьего наблюдателя со своими часами, это будет Лена.



$|CM|=|CH|-|MH|=|HE|-|MH|$

$|HE|=\frac{1}{a}sh(a\Delta\tau_{ME}) $

$|MH|=\frac{1}{a}ch(a\Delta\tau_{ME})-\frac{1}{a}$

$|CM|= \frac{1}{a}sh(a\Delta\tau_{ME})-\frac{1}{a}ch(a\Delta\tau_{ME})+\frac{1}{a}=\\ \\=\frac{1}{a}(sh(a\Delta\tau_{ME})-ch(a\Delta\tau_{ME})+1)=\frac{1}{a}(1-\frac{1}{e^{a\Delta\tau_{ME}}})$

Если $\Delta \tau$ это половина промежутка времени между отправкой и приёмом отражённого сигнала по часам равноускоренного наблюдателя, то расстояние до события (отражение)

$\frac{1}{a}(1-\frac{1}{e^{a\Delta \tau}})$

[Xugin]

Алия87 в сообщении #715495 писал(а):

Инерциальный Миша определяет расстояние до события C (отражение сигнала) радарным способом.

Стоит ли учесть расширение пространства при радарном определении расстояний? Ведь пока волна сбегает туда-сюда, постранство успеет чуточку расшириться. Для малых расстояний это мизер, а для астрономических вероятно существенно?
Уж и не знаю загонять свои вопросы в оффтоп, или так оставить.

[Munin]

Xugin в сообщении #715512 писал(а):

Стоит ли учесть расширение пространства при радарном определении расстояний?

Сказано:

Алия87 в сообщении #715495 писал(а):

Радиолокационное расстояние ускоренного наблюдателя в плоском пространстве-времени.

[epros]

Алия87, Вы проделали хорошую работу. Я бы добавил сюда в качестве комментария, что эта формула отражает понимание наблюдателем того факта, что сигнал провёл некоторое время в областях с другим значением гравитационного потенциала, где, как он знает, часы идут с другой скоростью.

[Алия87]

Спасибо.
Да, анализ этих формул вскрывает интересное вещи того, как воспринимает равноускоренный наблюдатель пространство и время. Это восприятие очень сильно отличается от такового для инерциальных наблюдателей.
Об этом как ни будь в следующий раз.

[Xugin]

Munin в сообщении #715575 писал(а):

Сказано:

Цитата:

Алия87 в сообщении #715495 писал(а):Радиолокационное расстояние ускоренного наблюдателя в плоском пространстве-времени.

А, это не наше пространство-время, тогда вопрос снимается.

[Munin]

Xugin в сообщении #715795 писал(а):

А, это не наше пространство-время

LOL

(Оффтоп)

Когда дилетант узнаёт несколько крох информации, он может стать заносчивым непропорционально тому, что узнал.

[Xugin]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #715876 писал(а):

Когда дилетант узнаёт несколько крох информации, он может стать заносчивым непропорционально тому, что узнал.

Каюсь, занесло. Май лодка иц лужа оверкиль.

[Munin]

В общем, плоское пространство-время - это тоже очень хорошая модель нашего пространства-времени. С очень высокой точностью. Отличия выплывают наружу только на расстояниях в миллиарды световых лет.

Справочное значение: если наблюдатель ускоряется с ускорением $10\text{ м}/\text{с}^2,$ то радиус кривизны его траектории - примерно один световой год. Так что, масштабы не те.

[Утундрий]

Однако, зачем использовать для разных величин одно слово? (Которое, по моему мнению, так лучше бы вообще не использовать). Тут и "радарное расстояние" и координата обозвана "расстоянием" (а другая зачем-то "временем") и об "измерении расстояния радарным способом" говорится... При этом совершенно непонятно, имеется в виду предыдущее "радарное расстояние" или что-то новое и чудесное? Вообще-то, если уж мерить что-то "радарным способом", то получится у нас аккурат два расстояния: одно - тудым, другое - оттуда обратно сюдым. Освещающие друг друга фонариками Миша и Саша этот момент хорошо иллюстрируют: для них полный разрыв фонариковых отношений наступает с небольшим, но забавным перехлёстом - часть истории когда радарный длиномометр Саши уже зашкалило, Миша отслеживает, фиксируя ещё конечное "радарное расстояние".

[Утундрий]

Кстати, почему бы для начала не рассмотреть "взаимную радиолокацию" двух инерциальных наблюдателей, мировые линии которых не пересекаются и не лежат в одной плоскости? Это достаточно увлекательная задача и без этих наворотов с горизонтами.

[NT2000]

Алия87 в сообщении #715495 писал(а):

$|CM|=|CH|-|MH|=|HE|-|MH|$

Вот ясно.
$|CM|=|CH|-|MH|$

А вот это мне не понятно.
$|CM|=|HE|-|MH|$
Если можно, пожалуйста поподробнее из чего это следует?
Как на рисунке это можно проследить?

[NT2000]

Может по другому надо задать вопрос.
Возможно это связано с тем, что Лена чтобы определить расстояние до ускоренного $\tau$ в точке $E$
должна выпустить импульс в момент $t'$ в точке $C$. И тогда CH = HE и отсюда $|CM|=|HE|-|MH|$

[Munin]

Видимо, CE - не асимптота, а секущая гиперболы, и E лежит на гиперболе. По рисунку не совсем чётко видно. Если так, CEH - прямоугольный равнобедренный треугольник.

[Алия87]

Munin в сообщении #716459 писал(а):

Видимо, CE - не асимптота, а секущая гиперболы

Да, асимптота должна проходить через центр гиперболы, через точку в начале координат (0;0). Точка С лежит правее. СК относительно которой велись все построения на рисунке показана.

NT2000 в сообщении #716422 писал(а):

А вот это мне не понятно.Если можно, пожалуйста поподробнее из чего это следует?Как на рисунке это можно проследить?

D - посылка сигнала Леной и Сашей (здесь они пересеклись, встретились на большой скорости относительно друг друга). С – отражение сигнала. Е – приём отражённого сигнала Леной и Сашей.
Треугольники DCH и EHC равнобедренные прямоугольные треугольники |DH|=CH|=|HE|

-- Вс апр 28, 2013 08:12:30 --

Утундрий в сообщении #716105 писал(а):

и координата обозвана "расстоянием" (а другая зачем-то "временем")

Длиной отрезка [ОA] называют расстояние |ОA| между его концами - точкой О и точкой А.